1.2 Топологическое пространство

Def4. Пусть дано множество X. Система его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то

.

2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .

3. .

Пара называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.

Пример 4. Обозначим через множество всех простых идеалов решетки . Для любого идеала решетки положим

и покажем, что является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида .

Множество пусто, а . Пусть - идеалы решетки . Тогда

={

.

Таким образом, на введена топология, названная топологией Стоуна-Зарисского. Топологическое пространство с топологией Стоуна-Зарисского называется простым спектром решетки .

Иллюстрация простого спектра для решетки (Пример1, Рис.1):

Пусть дано множество X. Семейство множеств называется покрытием X, если

Если C -- покрытие множества X, то любое подмножество , также являющееся покрытием X, называется подпокрытием.

Компактное пространство -- это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

компактное пространство с базисом открытых множеств .

Доказательство Пусть для произвольного семейства идеалов . Тогда и идеал не лежит ни в одном идеале из . Это возможно лишь в случае, когда . Получим, что , значит, , для некоторых , , из семейства . Поскольку идеал содержит 1, то , что означает компактность простого спектра.

Def5. Пусть и -- два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f и f ^{? 1} непрерывны, то есть прообраз любого открытого множества при этих отображениях открыт.

Гомеоморфизм называется локальным, если каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфно отображающейся на некоторое открытое подмножество пространства .