Алгебра октав

дипломная работа

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = {(u,v)|uK vK}, где К - множество кватернионов. По определению, (u1;v1) = (u2;v2) u1 = u2 v1 = v2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u1;v1) + (u2;v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2);

(u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 - v2v1 ; v2 u1 + v1 u2).

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1 + u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1 +( u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3; v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2) = (u2 + u1; v2 + v1) = (u2; v2) + (u1; v1),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:

((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) (u3; v3) = ((u1 + u2) u3 - 3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v2)u3) = (u1 u3 + u2 u3 - 3v1 - 3v2; v3u1+ v3u2+ v1 u3 + v2u3).

С другой стороны:

(u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3) = (u1u3 - 3v1; v3u1 + v1u3)+(u2 u3 - 3v2; v3u2+ v2u3)=(u1 u3 - 3v1 + u2 u3 - 3v2; v3u1 + v1u3 + v3u2+ v2u3).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u3; v3) ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3) (u2; v2) + (u3; v3) (u1; v1).

Действительно, с одной стороны:

(u3; v3) ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) v (u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 + u2); ()v3;

(v1+ v2)u3+ v3())= (u3 u1 + u3u2 -1v3 - 2v3; v1 u3 + u2 u3+ v3u1+ v3u2);

с другой стороны:

(u3; v3) (u1; v1) +(u3; v3) (u2; v2) = (u3 u1 - 1v3; v1 u3 + v3u1)+ (u3 u2 - 2v3; v2 u3 + v3u2)= (u3 u1 - 1v1 + u3 u2 - 2v3; v1 u3 + v3u1 + v2 u3 + v3u2).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 u2) (u3; v3) = ((u1 u2 - 2v1)u3 -3(v2 u1 + v1u2);

v3(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1u2) u3) = (u1 u2 u3 - 2v1u3 -3v2 u1 -3v1u2; v3u1u2 - v32v1 - v2 u1 u3 - v1u2 u3).

С другой стороны:

(u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3)) = (u1; v1) (u2u3 - 3v2; v3u2 + v2u3) = (u1 (u2u3 - 3v2) - v1;

v1+ (v3u2 + v2u3) u1) = (u1u2u3 - u13v2 -v1 - u32v1; v1- v12v3 + v3u2 u1 + v2u3 u1).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) ? (u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3))

т.е. умножение в не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u1;v1) (u2;v2) = (u1u2 - 2v1 ; v2 u1 + v1 u2);

(u2;v2) (u1;v1) =(u2u1 - 1v2 ; v1 u2 + v2 u1).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u1;v1) (u2;v2) ? (u2;v2) (u1;v1)

т.е. умножение в не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 u2) (u2; v2) = ((u1 u2 - 2v1)u2 -2(v2 u1 + v1u2);

v2(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1u2) u2) = (u1 u2 u2 - 2v1u2 -2v2 u1 -2v1u2; v2u1u2 - v22v1 - v2 u1 u2 - v1) = (u1 u2 u2 - 2v1 (u2 + u2) - |v2|2 u1; v2u1 (u2 + u2) - v1- |v2|2v1) .

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2)) = (u1; v1) (u2 u2 - 2v2; v2 u2 + v2 u2) = (u1(u2 u2 - 2v2) -()v1;

v1 () + (v2 u2 + v2 u2) u1) = (u1u2 u2 - u12v2 -v1 - u22v1;

v1- v12v2 + v2 u2 u1+ v2 u2 u1) = (u1 u2 u2 - (u2 + u2) 2v1 - u1|v2|2; (u2 + u2) v2u1 + v1 - v1|v2|2).

Здесь следует учитывать, что 2v2 = v22 = |v2|2 и u2 + u2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = ((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u2; v2) ((u2; v2) (u1; v1)) = (u2; v2) (u2u1 - 1v2; v1 u2 + v2 u1) = (u2(u1 u2 - 2v1) - v2;

(v1 u2 - v2 u1) u2 + v2 ) = (u2u1 u2 - u21v2 -v2 - u12v2; v1u2u2 + v2 u1 u2 + v2 - v22v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + u2) 1v2; v1u2u2 + v2 u1(u2 + u2) - |v2|2 v1).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u2; v2) (u2; v2)) (u1; v1) = (u2 u2 - 2v2; v2 u2 + v2 u2) (u1; v1) = ((u2 u2 - 2v2) u1 - 1(v2 u2 + v2 u2);

v1(u2 u2 - 2v2) + (v2 u2 + v2 u2) u1) = (u2 u2 u1- 2v2 u1 - 1v2 u2 - 1v2 u2; v1u2 u2 - v12v2 + v2 u2 u1 + v2) = u2 u2 u1 - 1v2(u2 + u2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 u1 (u2+ u2).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в решим уравнение:

(u; v) (x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ? 0. Тогда:

(u; v) (х; у) = (u; v) (хu - y; уи + v) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=,откуда:

(u-1 u) x = u-1v+ u-1ux = v =1+ уи.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v(1+ уи) + уи = vv+ v уи+ уи = vуи+уи=0 (+1)уи=0,

откуда при u ? 0 следует, что у = 0. Тогда = 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в .

В случае, если и = 0, v ? 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ? 0. Тогда:

(х; у) (и; v) = (и: v) (хи - y; vх - уu) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=, откуда:

x(uu-1) = y+ u*u-1 x = 1+ 2yu,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+ 2yu) + уu= vv + 2 vyu + уu= vyu+ уu= 0 (+ 1)уu =0,

откуда при u ? 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в . Обозначим (1; 0) = 1U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v) (х: у) = (1; 0) (их - v; уи+ v) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=2, откуда:

(u-1u) x = u-1v + u-1 x =2+2v = 2 + 2yu.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v + + уи= 0 2 + 2 vyu + уи= 0 (|u|2 + |v|2) yu = - vu (|u|2 + |v|2) y = - v,

откуда

у = - .

Тогда из второго уравнения системы

v- u =0v- =0 = x= .

Итак, пара

(x; y) = ; -

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в .

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ? 0. Тогда:

(х; у) (u; v) = (1; 0) (xu - y; vx + yu) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=2 откуда:

x (u u-1) = y2 + 2 x = 2 (yu + u).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v2(yu + + u) + yu = 0 (|u|2 + |v|2) yu = - vu

откуда при u ? 0 следует, что у = - . и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu - = 1,

откуда следует, что

xu= 1 - = .

Умножим это равенство справа на u-1=, тогда

x = * =

Итак, пара

(x; y) = ; -

является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в . Обозначим его (u, v)-1.

Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в .

Из 1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.

Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.

Пусть U1 = {(u; 0)| u K}. Ясно, что U1 K x K.

Покажем, что множество U1 замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:

(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2: 0 + 0) = (u1 + u2: 0) U1;

(u1, 0) (u2, 0) = (u1 u2 - 0; 0 u1 + 0 u2) = (u1 u2: 0) U1.

Далее:

- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U1;

(u; 0)-1 = = U1,

откуда следует, что есть под тело алгебры ,.

Покажем, что изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U1 > K такое, что ((u; 0) є U1) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2: 0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u1; 0) (u2; 0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1 u2 = f ((u1; 0)) f ((u2; 0));

f ((u; 0)-1) = f ((; 0)) = ; 0 = u-1 = f ((u; 0)) -1,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u1; 0)) = f ((u2; 0)) u1 = u2 1; 0) = (и2; 0) и f (U1) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .

Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:

(0; 1)2 = (0; 1) (0; 1) = (00 - 1; 10+1) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.

С другой стороны:

(0; i) ? (i; 0) = i; (0: 1) ? (j; 0) = j; (0; k) ? (k; 0) = k.

Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.

Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) , представим в виде u + ve, где и, v є К и е2 = -1. Действительно,

(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve.

Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U/ К х К. Если мы покажем, что К х K U/, то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е2 = - 1, то u + vjU/, так как и, v К U/, e U/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х K U/, откуда U/ = К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.

Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.

Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R.

Тогда,

и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).

Вычислим

ie = (i; 0) (0; 1) = (i0 - 0; 1i + 0) = (0; i);

je = (j; 0) (0; 1) = (j0 - 0; 1j + 0) = (0; j);

ke = (k; 0) (0; 1) = (k0 - 0; 1k + 0) = (0; k),

откуда следует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. Действительно,

(ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (ii - 0; 0i + 0i) = (-1; 0) = -1;

(je)2 = (j; 0) (j; 0) = (jj - 0; 0j + 0i) = (-1; 0) = -1;

(ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (kk - 0; 0k + 0i) = (-1; 0) = -1.

Следовательно, ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R.

Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.

Делись добром ;)