Введение

Во многих (и Вы еще убедитесь в этом!) так называемых задачах…"торчат уши квадратного трехчлена". (Черкасов А.Ю. Якушев А.Г.)

Практически все, что окружает современного человека - это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Цель работы: Выявить способы решения уравнения второй степени.

Задачи:

1) Познакомиться с историческими фактами, связанными с данным вопросом.

2) Описать технологии различных существующих способов решения уравнений второй степени.

3) Провести анализ этих способов, сравнить их.

4) Привести примеры применения различных способов решения уравнений.

5) Составить задачник по теме.

Объект исследования: уравнения второй степени.

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени.

Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курса алгебры, так и дополнительный материал.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37.", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес.

В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) - собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Квадратные уравнения.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ахІ+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём, а?0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х.

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1. хІ+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравнения

Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Обратите внимание: об ахІ речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Корнем квадратного уравнения ахІ+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ахІ+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ахІ+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.0=0.

Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.