1.2 Теорема Піфагора та цілочислові прямокутні трикутники

Співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, яке подається в підручниках математики та інших джерелах під назвою теореми Піфагора, було відоме з давніх часів. Так, клинописі памятки Вавілона свідчать про те, що за 2-2,5 тисячі років до нашої ери там уже користувалися названим співвідношенням для обчислень. Було відоме воно і стародавнім єгиптянам (за 2300 років до н.е.) ,про що свідчить папірус Берлінського музею. Чому ж ця закономірність названа імям Піфагора, який жив у VI cт. до н.е., тобто значно пізніше?

Піфагор, про життя якого є лише відомості, переписані легендами, народився на о. Самос. У молоді роки він багато подорожував і цілком імовірно, що, відвідавши країни Стародавнього Сходу, познайомився з відомою вже там закономірністю про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Повернувшись на батьківщину (в Грецію) та оселившись у м. Кротоні, Піфагор заснував філософську школу і серйозно зайнявся систематизацією та узагальненням математичних знань. Піфагор систематизував здобуті фрагментарні відомості про прямокутний трикутник, дав їм логічне обґрунтування, зробивши їх надбанням своїх співвітчизників.

Першопрохідці помітили, що рівність a²+b²=c² (1) справджується при натуральних значеннях довжин катетів а і b та гіпотенузи с, бо інших чисел вони не знали.

Зясуємо насамперед, чи є такі три послідовності натуральних чисел, що задовольняють рівність (1). Якщо є, то скільки таких трійок чисел?

Нехай a=n -1; b=n ; c=n+1. Тоді (n -1)²+ n² =( n +1)² , звідки n²-4n=0; n₁=0; n₂=4. Умову задачі задовольняє n=4.

Отже, маємо трійку чисел 3,4,5, для яких 3²+4²=5 ².Оскільки інших розвязків рівняння не має, то існує лише одна така трійка чисел.

Прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 був відомий стародавнім єгиптянам. Ним вони користувалися, будуючи прямі кути під час землевимірювальних робіт. Поділивши вірьовку на 12 рівних частин, закріплювали її кілками в поділках, які від одного кінця відділяли 3 відрізки, а від другого - 5. Натягуючи вільні кінці вірьовки та суміщаючи їх, діставали прямокутний трикутник з прямим кутом між відрізками 3 і 4 одиниці. Людей, які займалися цією справою, називали гарпедонаптами (натягувачі вірьовок), а прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, і 5 дістав назву єгипетського.

Назвемо прямокутні трикутники довжини сторін яких виражаються цілими числами, цілочисловими. Зрозуміло, що трикутники зі сторонами 3k, 4k i 5k прямокутні цілочислові, бо (3k)²+(4k)²=(5k)^{2 -} 3²+4²=5 ². Таких трикутників безліч.

Чи існують цілочислові прямокутні трикутники, крім єгипетського, довжини сторін яких - три числа, що мають найбільшим спільним дільником число 1? Шукатимемо такі трикутники, тобто такі трійки натуральних чисел, які задовольнятимуть зазначену вище умову. Виходячи з умови, вони не можуть бути всі парними, але не можуть бути й не парними,бо , якщо a і b непарні, то с парне. (Зазначимо тут, що коли, наприклад, a парне, то a² кратне 4, бо якщо a=2п ,то a²=4п^2.Якщо a непарне, тобто a=2п+1, то a²=4п²+4п+1=4п₁+1 - непарне).

Взагалі, якщо будь-які два числа з трійки натуральних чисел a, b і c ,що задовольняють a²+b²=c² (такі числа називають піфагоровими), мають спільний дільник відмінний від 1, то він буде також дільником і третього числа. Отже, будь-яка пара чисел з шуканих трійок є взаємно-простими числами. Нехай a непарне і b парне, тоді c також непарне.

Маємо :

a²+b²=c² - b²=c²- a²- b²=(c-a)(c+a).(2)

Числа (c-a) і (c+a) парні, тому тому і цілі ; b² кратне 4, тому ціле .З рівності ( 2 ) дістанемо:

= * (3).

Числа і взаємно прості. Справді, якщо припустити протилежне, то

=ир₁ і =ир₂.

Отже

С = и (р₁+р₂) і а = и (р₁-р₂),

тобто числа с і а матимуть спільний дільник и, що суперечить умові.

Добуток двох взаємно простих чисел є точним квадратом (рівність 3) лише в тому випадку, коли кожне з цих чисел є точним квадратом. Нехай

=х²; =у², тоді с=х²+у² ; а=х²-у² і =х²у², або =(2ху)²; b=2ху.

Маємо тотожність

(х²-у²)²+(2ху)²=(х²+у²)².

Формули

а=х²-у²; b=2ху і с=х²+у²

дають можливість обчислювати a, b і c за значеннями х і у.

Якщо числа х і у взаємно прості й до того ж одне з них парне, а друге непарне, то трійки (a,b,c) будуть саме такі, як у вихідній задачі(найбільший спільний дільник a, b, c дорівнює 1) . Такі трійки піфагорових чисел називаються основними.

Основні трійки піфагорових чисел модна дістати, склавши таку таблицю.

Її можна продовжити як завгодно довго. Отже, таких трійок чисел безліч.

Єгипетський трикутник, як видно з таблиці, дістанемо, якщо х=2, у=1. Помічаємо також, що коли х-у=1, гіпотенуза більша від більшого катета на 1. Це природно, бо коли

х=у+1, b=2xy=2у(у+1)=2у²+2у; с=(у+1)²+у²=2у²+2у+1 і тому с- b=1.

При цьому менший катет а=х²-у²=2у+1, а різниця довжин катетів b-а=2у²-1.Цей вираз дорівнює 1 тільки тоді, коли у=1. Знову приходимо до висновку, що існує лише один прямокутний трикутник, довжини сторін якого виражаються трьома послідовними натуральними числами.

Сума довжин гіпотенузи й катета b є точний квадрат, бо

с+b=х²+у²+2ху=(х+у)².

Точним квадратом є також і їх різниця, тобто

с-b=х²+у²-2ху=(х-у)².

Якщо х-у=п, то с-b=п². Наприклад, якщо х=5 і у=2, маємо b=20 і с=29;

х+у=7; b+с=20+29=49=7²; с- b=29-20=9=3².

Зрозуміло,що з кожної основної трійки піфагорових чисел модна дістати безліч похідних, бо

a²+b²=c²-(3а)²+(4b)²=(5с)²

Наприклад, маючи трійку (3;4;5), дістанемо трійки (6;8;10), (9;12;15), (12;16;20) та ін.

До речі, усі трійки піфагорових чисел, які походять від основної трійки (3;4;5), і основна трійка є арифметичними прогресіями. Інших трійок піфагорових чисел, які б були арифметичними прогресіями немає.

Неважко показати, що серед основних трійок(а отже, і похідних) немає жодної, яка була б геометричною прогресією.

Припустимо, то така трійка (а;b;с) існує. Тоді b²=ас і значить а²+ас=с². Звідси ас=с²-а², або ас=(с+а)(с-а). Числа а і с непарні, тоді як (с+а) і (с-а) парні. Отже рівність, хибна, а це означає, що зроблене неправильне припущення.

Похідні трійки можна дістати також, надаючи х і у цілих значень(крім тих, при яких дістанемо основні трійки) або коли і Наприклад, якщо х=4 і у=2, то а=12; b=16; i c=20. Такий результат можна дістати, помножаючи числа 3, 4 і 5 на 4.Якщо і , то а=6, b=8 і с=10; це можна також дістати, помноживши на 2 числа 3, 4 і 5.

Якщо, наприклад, х=1000 і у=999, то дістанемо основну трійку

а=х+у=1999, b=1998000 і с= b+1=1998001.