Доведення 2

Побудуємо ДBDE = ДACB так, щоб B CD ( рис 2).

Тоді чотирикутник ACDE - трапеція, бо AC || DE як два перпендикуляри до CD. Маємо:

S_ACDE = ·CD = ·² (1)

Крім того, S_ACDE = S_ДABE + 2S_ДABC. Трикутник ABE рівнобедрений і прямокутний. Дійсно, якщо позначимо АВС = BED = , тоді в прямокутному трикутнику BDE DBE = 90° - . За побудовою CBD = 90°.Таким чином, ABE = 180° - °, S_ДABC=, S_ДABC= .

Тоді S_ACDE= ( 2 )

Порівнюючи рівності ( 1 ) і ( 2 ), дістанемо:

Доведення 3. Побудуємо CD AB ( рис.3 ).

Нехай CAB = BCD = . Тоді S_ДABC = sin. Оскільки ,

S_ДABC = ( 1 )

Аналогічно: S_ДACD = ( 2 )

S_ДBCD = ( 3 )

За побудовою S_ДABC = S_ДACD + S_ДBCD. ( 4 )

З рівностей ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) випливає:

тобто

Рис.3 Рис.4

Доведення 4. Впишемо в трикутник АВС коло ( О, r ) ( Рис.4 ). Тоді:

S_ДABC = S_ДOAC + S_ДOAB =

Чотирикутник OKCL - квадрат з стороною r. За властивістю дотичних, проведених з точок А та В до кола, маємо: AH = AK = , BH = BL = .

Тоді

AB = AH + HB =

З іншого боку

S_ДABC = .

Таким чином,

Доведення 5

Виконуємо побудови, які показано на рисунку 5 а), 5 б).

Рис.5,а

Рис.5,б

CDMN, TQRE - квадрати зі стороною . Тоді S_CDMN = S_TQRE.

За побудовою маємо:

S_CDMN = S_ABLK + 4S_ДABC,

S_TQRE = S_PQBC + S_ACFE + 4S_ДABC.

Порівнюючи ці рівності, дістанемо:

S_ABLK + 4S_ДABC = S_PQBC + S_ACFE + 4S_ДABC , або

S_ABLK = S_PQBC + S_ACFE, тобто

Доведення 6

Побудуємо квадрат CDMN з стороною a+b ( Рис.6)

Рис. 6

Тоді ДАСВ = ДBDK = ДKLM = ДLNA ( за двома катетами ) , звідки

AB = BK = KL = LA = c.

Отже, чотирикутник ABKL - ромб.

Оскільки АВК = 90°, то ABKL - квадрат. Маємо:

Порівнюючи останні рівності, дістанемо:

Доведення 7

На сторонах прямокутного трикутника АВС побудуємо квадрати АВКМ, АDЕС, ВСFR. (Pис. 7). Трикутники ЕСF, КLМ і АСВ рівні між собою. АDRВ = EDRF як симетричні відносно прямої DR фігури; ACLM = КLСВ як центрально-симетричні фігури відносно центра квадрата АВКМ; АDRB=АСLМ як відповідні фігури при повороті навколо центра А на кут 90°.

Враховуючи одержані три рівності, маємо:

ADEFRB = ACBKLM, але

S_ADEFRB = S_ADEC + 2S_ДABC + S_BCFR, S_ACBKLM = S_ABKM + 2S_ДABC.

Отже, S_ADEC + S_BCFR = S_ABKM , тобто

Рис.7

Рис.8

Доведення 8

Прямокутний трикутник АСВ з прямим кутом С повернемо навколо точки С на 90° так, щоб він зайняв положення АґСВґ ( Рис. 8 ). Продовжимо гіпотенузу АґВґ до перетину з АВ у точці D. Відрізок ВґD буде висотою трикутника ВґАВ.

Розглянемо тепер чотирикутник АґАВґВ. Його можна розкласти на два рівнобедрені трикутники САґА і СВґВ. Маємо:

Ы_ДСФґФ = б Ы_ДСИґИ= ю

Таким чином

Ы_ФґФИґИ= Ы_ДСФґФ + Ы_ДСИґИ=ю

Трикутники ААґВґ і ВАґВґ мають спільну основу ВґАґ і висоти AD і BD відповідно. Тому

Ы_ФґФИґИ= Ы_ДАФґВґ + Ы_ДВАґИ= ю

Порівнявши два вирази для площі чотирикутника АґАВґВ, одержимо:

, тобто

1.2 Теорема Піфагора та цілочислові прямокутні трикутники

Співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, яке подається в підручниках математики та інших джерелах під назвою теореми Піфагора, було відоме з давніх часів. Так, клинописі памятки Вавілона свідчать про те, що за 2-2,5 тисячі років до нашої ери там уже користувалися названим співвідношенням для обчислень. Було відоме воно і стародавнім єгиптянам (за 2300 років до н.е.) ,про що свідчить папірус Берлінського музею. Чому ж ця закономірність названа імям Піфагора, який жив у VI cт. до н.е., тобто значно пізніше?

Піфагор, про життя якого є лише відомості, переписані легендами, народився на о. Самос. У молоді роки він багато подорожував і цілком імовірно, що, відвідавши країни Стародавнього Сходу, познайомився з відомою вже там закономірністю про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Повернувшись на батьківщину (в Грецію) та оселившись у м. Кротоні, Піфагор заснував філософську школу і серйозно зайнявся систематизацією та узагальненням математичних знань. Піфагор систематизував здобуті фрагментарні відомості про прямокутний трикутник, дав їм логічне обґрунтування, зробивши їх надбанням своїх співвітчизників.

Першопрохідці помітили, що рівність a²+b²=c² (1) справджується при натуральних значеннях довжин катетів а і b та гіпотенузи с, бо інших чисел вони не знали.

Зясуємо насамперед, чи є такі три послідовності натуральних чисел, що задовольняють рівність (1). Якщо є, то скільки таких трійок чисел?

Нехай a=n -1; b=n ; c=n+1. Тоді (n -1)²+ n² =( n +1)² , звідки n²-4n=0; n₁=0; n₂=4. Умову задачі задовольняє n=4.

Отже, маємо трійку чисел 3,4,5, для яких 3²+4²=5 ².Оскільки інших розвязків рівняння не має, то існує лише одна така трійка чисел.

Прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 був відомий стародавнім єгиптянам. Ним вони користувалися, будуючи прямі кути під час землевимірювальних робіт. Поділивши вірьовку на 12 рівних частин, закріплювали її кілками в поділках, які від одного кінця відділяли 3 відрізки, а від другого - 5. Натягуючи вільні кінці вірьовки та суміщаючи їх, діставали прямокутний трикутник з прямим кутом між відрізками 3 і 4 одиниці. Людей, які займалися цією справою, називали гарпедонаптами (натягувачі вірьовок), а прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, і 5 дістав назву єгипетського.

Назвемо прямокутні трикутники довжини сторін яких виражаються цілими числами, цілочисловими. Зрозуміло, що трикутники зі сторонами 3k, 4k i 5k прямокутні цілочислові, бо (3k)²+(4k)²=(5k)^{2 -} 3²+4²=5 ². Таких трикутників безліч.

Чи існують цілочислові прямокутні трикутники, крім єгипетського, довжини сторін яких - три числа, що мають найбільшим спільним дільником число 1? Шукатимемо такі трикутники, тобто такі трійки натуральних чисел, які задовольнятимуть зазначену вище умову. Виходячи з умови, вони не можуть бути всі парними, але не можуть бути й не парними,бо , якщо a і b непарні, то с парне. (Зазначимо тут, що коли, наприклад, a парне, то a² кратне 4, бо якщо a=2п ,то a²=4п^2.Якщо a непарне, тобто a=2п+1, то a²=4п²+4п+1=4п₁+1 - непарне).

Взагалі, якщо будь-які два числа з трійки натуральних чисел a, b і c ,що задовольняють a²+b²=c² (такі числа називають піфагоровими), мають спільний дільник відмінний від 1, то він буде також дільником і третього числа. Отже, будь-яка пара чисел з шуканих трійок є взаємно-простими числами. Нехай a непарне і b парне, тоді c також непарне.

Маємо :

a²+b²=c² - b²=c²- a²- b²=(c-a)(c+a).(2)

Числа (c-a) і (c+a) парні, тому тому і цілі ; b² кратне 4, тому ціле .З рівності ( 2 ) дістанемо:

= * (3).

Числа і взаємно прості. Справді, якщо припустити протилежне, то

=ир₁ і =ир₂.

Отже

С = и (р₁+р₂) і а = и (р₁-р₂),

тобто числа с і а матимуть спільний дільник и, що суперечить умові.

Добуток двох взаємно простих чисел є точним квадратом (рівність 3) лише в тому випадку, коли кожне з цих чисел є точним квадратом. Нехай

=х²; =у², тоді с=х²+у² ; а=х²-у² і =х²у², або =(2ху)²; b=2ху.

Маємо тотожність

(х²-у²)²+(2ху)²=(х²+у²)².

Формули

а=х²-у²; b=2ху і с=х²+у²

дають можливість обчислювати a, b і c за значеннями х і у.

Якщо числа х і у взаємно прості й до того ж одне з них парне, а друге непарне, то трійки (a,b,c) будуть саме такі, як у вихідній задачі(найбільший спільний дільник a, b, c дорівнює 1) . Такі трійки піфагорових чисел називаються основними.

Основні трійки піфагорових чисел модна дістати, склавши таку таблицю.

Її можна продовжити як завгодно довго. Отже, таких трійок чисел безліч.

Єгипетський трикутник, як видно з таблиці, дістанемо, якщо х=2, у=1. Помічаємо також, що коли х-у=1, гіпотенуза більша від більшого катета на 1. Це природно, бо коли

х=у+1, b=2xy=2у(у+1)=2у²+2у; с=(у+1)²+у²=2у²+2у+1 і тому с- b=1.

При цьому менший катет а=х²-у²=2у+1, а різниця довжин катетів b-а=2у²-1.Цей вираз дорівнює 1 тільки тоді, коли у=1. Знову приходимо до висновку, що існує лише один прямокутний трикутник, довжини сторін якого виражаються трьома послідовними натуральними числами.

Сума довжин гіпотенузи й катета b є точний квадрат, бо

с+b=х²+у²+2ху=(х+у)².

Точним квадратом є також і їх різниця, тобто

с-b=х²+у²-2ху=(х-у)².

Якщо х-у=п, то с-b=п². Наприклад, якщо х=5 і у=2, маємо b=20 і с=29;

х+у=7; b+с=20+29=49=7²; с- b=29-20=9=3².

Зрозуміло,що з кожної основної трійки піфагорових чисел модна дістати безліч похідних, бо

a²+b²=c²-(3а)²+(4b)²=(5с)²

Наприклад, маючи трійку (3;4;5), дістанемо трійки (6;8;10), (9;12;15), (12;16;20) та ін.

До речі, усі трійки піфагорових чисел, які походять від основної трійки (3;4;5), і основна трійка є арифметичними прогресіями. Інших трійок піфагорових чисел, які б були арифметичними прогресіями немає.

Неважко показати, що серед основних трійок(а отже, і похідних) немає жодної, яка була б геометричною прогресією.

Припустимо, то така трійка (а;b;с) існує. Тоді b²=ас і значить а²+ас=с². Звідси ас=с²-а², або ас=(с+а)(с-а). Числа а і с непарні, тоді як (с+а) і (с-а) парні. Отже рівність, хибна, а це означає, що зроблене неправильне припущення.

Похідні трійки можна дістати також, надаючи х і у цілих значень(крім тих, при яких дістанемо основні трійки) або коли і Наприклад, якщо х=4 і у=2, то а=12; b=16; i c=20. Такий результат можна дістати, помножаючи числа 3, 4 і 5 на 4.Якщо і , то а=6, b=8 і с=10; це можна також дістати, помноживши на 2 числа 3, 4 і 5.

Якщо, наприклад, х=1000 і у=999, то дістанемо основну трійку

а=х+у=1999, b=1998000 і с= b+1=1998001.

1.3 Історичні відомості

Піфагор Самосський (бл. 580-500 р.р. до н. е.) - давньогрецький математик і філософ. Народився на острові Самос в багатій купецькій сімї, здобув ґрунтовану освіту. За переказами, Піфагор для ознайомлення з мудрістю східних учених виїхав до Єгипту і, нібито, прожив там 22 роки, після чого провів 12 років у Вавілоні, де вивчив наукові праці вавілонських жерців. Близько 530 р. до н. е. повернувся на батьківщину і оселився в місті Кротоні. Тут йому вдалося організувати власну школу, яка діяла майже 30 років і здобула велику популярність. Школа Піфагора багато зробила для перетворення геометрії в науку. Характерною рисою методу Піфагора було поєднання геометрії з арифметикою: відрізки відігравали роль, аналогічну тому, як букви в сучасній алгебрі. Піфагор багато займався пропорціями та прогресіями. Вчення Піфагора та його учнів стосувалося гармонії, геометрії, теорії чисел, астрономії тощо. Піфагорійці понад усе цінували результати, здобуті в теорії гармонії, бо саме тут підтверджувалась їхня ідея, що числа визначають все.

Піфагор один з перших вважав, що Земля має форму кулі є центром Всесвіту, що сонце, Місяць і планети мають власний рух, відмінний від добового руху нерухомих зірок. Ці погляди передували геліоцентричному вченню Коперніка.

Піфагору приписують доведення теореми, яка має його імя. Її історія оповита легендами. Виявляється, що вона ще до Піфагора була відома єгиптянам, вавілонянам, китайцям та індійцям.

Рис.1

Німецький історик мате математики Кантор вважає, що рівність 3² + 4² = 5² була відома єгиптянам ще близько 2300 р. до н. е. в часи царя Аменетхета Й. На думку Кантора, гарпедонапти, або "натягувачі вірьовок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4, 5. Можна легко відновити їх спосіб побудови. Візьмемо вірьовку довжиною 12м і привяжемо до неї кольорові стрічки на відстані 3м від одного кінця і 4м від другого (рис.1). Потім натягнемо вірьовку так, як це вказано на рисунку. Прямий кут буде між сторонами довжиною в 3 і 4 метри.

Близько 2000 р. до н. е. вавілоняни вміли робити окремі обчислення з прямокутними трикутниками.

Геометрія в індусів, як і в єгиптян, була тісно повязана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії близько 8 ст. до н.е.

Властивості трикутника з сторонами 3, 4, 5 були відомі в Китаї за 1100 р. до н. е., про що засвідчує математична книга Чупей.

Теорема Піфагора має різні формулювання. В "Початках" Евкліда вона формулюється так: У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що утворюють прямий кут.

Латинський переклад арабського тексту: У всякому прямокутному трикутнику квадрат, утворений на стороні, натягнутій над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів, утворених на двох сторонах, що замикають прямий кут.

У перекладі з німецького читається так: Площа квадрата, виміряна довгою стороною трикутника, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні двома сторонами його, що прилягають до прямого кута. У першому російському перекладі евклідових "Початків", зроблено з грецької Ф.І. Петрушевським у 1819 році, теорема Піфагора викладена так: У прямокутних трикутниках квадрат із сторони, протилежної прямому куту, дорівнює сумі квадратів із сторін, що містять прямий кут.

У Франції і деяких областях Німеччини теорему Піфагора називали "мостом ослів". Вважають, що вона формулювалась так: Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах.

В епоху середньовіччя теорема Піфагора визначала границі математичних знань. Характерне креслення теореми Піфагора використовувалось як символ математики, перетворювалось школярами в карикатури.

Нині всі погоджуються з тим, що ця теорема не була відкрита Піфагором. Однак, одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доведення, інші відомляють йому в цій заслузі. Дехто приписує йому доведення, яке Евклід (жив близько 300 р. до н.е. в Олександрії) наводить у першій книзі своїх "Початків". Проте Прокл, який жив у 410 - 485 р. р. у Візантії і Афінах, стверджує, що доведення в "Початках" належать самому Евкліду. Відомий голандський математик Ван-дер-Варден прийшов до висновку: "Заслугою перших грецьких математиків, таких, як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, а її систематизація і обґрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти перетворились в точну науку".

1.4 Розвязування задач

Задача 1

Основа трикутника дорівнює 40 см. До неї проведені висота довжиною 12 см і медіана довжиною см. Обчислити периметр трикутника.

Розвязання

Нехай у трикутнику АВС, АВ=40см, висота СН=12 см, медіана СМ= см(рис.1)

З трикутника МНС(Н=90^о):

МН===15(см).

Крім того, точка Н лежить між точками М і В. Оскільки

МВ = =20(см), то

НВ=МВ-МН=5(см) і АН=АВ-НВ=35(см).

З СНВ(Н=90^о): СВ===13(см).

З СНА(Н=90^о): СВ===37(см).

Отже Р=АВ+ВС+АС=40+13+37=90(см.)

Рис. 1

Рис. 2

Задача2

Периметр ромба дорівнює 100 см, а діагоналі відносяться як 3:4. Обчислити площу ромба.

Розвязання

Нехай АВСD - ромб, у якому ВD:АС=3:4 і Р=100(см) (рис.2)

Оскільки Р=4*АD, то АD=25 см. Враховуючи, що

ВD=2*ОD, АС=2*АО,

Одержимо

,

звідки

ОD=3k, AO=4k(k>0).

З AOD(O=90^o): AD²=AO²+OD², 25=16k²+9k².

Тоді OD=3*5=15 (см),

АО=4*5=20(см),

S_ABCD=4*S_AOD=4**AO*OD=2*20*15=600(см²).

Задача3 (задача Леонардо Фібоначчі)

Дві башти висотою 30 і 40 футів розташовані одна проти другої на відстані 50 футів одна від одної. Між ними знаходиться фонтан, до якого з обох башт злітають два птахи, і , пролітаючи з однаковою швидкістю, прилітають до фонтану в один і той же час. Яка відстань по горизонталі відділяє фонтан від обох башт(рис.3)?

Розвязання

Позначимо АЕ=х, тоді DЕ=50-х. З прямокутних трикутників ВАЕ і СDЕ за теоремою Піфагора маємо : ВЕ²=АЕ²+АВ², СЕ²=DЕ²+DС².За умовою ВЕ=ЕС, тоді маємо АЕ²+АВ²= DЕ²+DС², х²+40²=(50-х)²+30², х²+1600=2500-100х+х²+900, 100х=1800, х=18, DЕ=50-18=32. Отже, АЕ=18 футів, DЕ=32 фути.

Рис. 3

Рис.4.1

Задача 4

Обчислити довжину висоти трикутника, якщо відомо довжини його сторін.

Розвязання

Нехай ДАВС, АВ = с, АС = ,ВС = а, АН- висота.Позначимо проекцію сторони АВ на пряму ВС через Тоді проекція сторони АС на що саму пряму буде або а - х (рис. 4.1), або а + х (рис4.2). За теоремою Піфагора в першому випадку

Дістанемо рівняння

Розвязуючи його, одержимо:

Тоді

У другому випадку відповідь буде та сама

Рис. 4.2

Рис. 5

Задача 5

На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом побудовані квадрати зовні трикутника. Центри цих квадратів зєднані між собою прямими лініями. Знайти площу одержаного трикутника.

Розвязання

Нехай

ДАВС, C = 90°, АС = ВС = b,

ABMN,ACDF, BCKL - квадрати

Неважко переконатись в тому, що ДO₁O₂O₃ - рівнобедрений, O₁C - висота (рис.5).

Тоді.

За теоремою Піфагора

Таким чином,

Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теореми Піфагора

Метод аналогії є одним з ефективних і розповсюджених методів математики. Його застосування приводить до плідних і часто до неочікуваних результатів.

Деякі властивості трикутника і тетраедра схожі, а деякі геометричні поняття, повязані з трикутником , мають просторові аналоги: наприклад, сторона трикутника - грань тетраедра, довжина сторони - площа грані, вписане коло - вписана сфера, площа - обєм,бісектриса кута - бісектор двогранного кута тощо. Багато теорем про трикутники, якщо замінити в їх формулюванні планіметричні терміни відповідними стереометричними і конкретно сформулювати, то вони перетворюються в теореми про тетраедри. Однією з таких є аналог теореми Піфагора в стереометрії.

Означення. Якщо три ребра, які виходять з однієї вершини тетраедра, попарно ортогональні, то тригранний кут, що визначається ними, називається прямим, а тетраедр - прямокутним.

Теорема (стереометричний аналог теореми Піфагора).У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежить проти прямого тригранного кута, дорівнює сумі квадратів площ решти граней.

Доведення 1. Нехай у прямокутному тетраедрі OABC

(Рис.2.1)

Доведемо, що

Маємо:

(1)

У Д АВС:

, (2)

Площу трикутника АВС обчислимо за формою Герона

, де

Виконаємо перетворення:

,

.

Використовуючи (2), (3), одержимо:

тобто (4)

Враховуючи (1), (4), одержимо

Розглянемо доведення, в якому використовується метод проекцій