1.8 Начальные этапы развития тригонометрии

Древнекитайский прием измерения высоты недоступного предмета.Из математического трактата о морском острове Лю Хуэя (??? в.).

Задача.

Наблюдают морской остров. Для этого установили пару шестов одинаковой высоты в . Предыдущий (шест) от последующего отделен на . ( и - меры длины; примерно равна двойному шагу, ).

Пусть последующий шест вместе с предыдущим находится на одной прямой (с островом). Если отойти по прямой от предыдущего шеста на , то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец шеста, совпадающий с вершиной острова. Если же отойти по прямой от последующего шеста на , то глаз человека, лежащего на земле, будет наблюдать верхний конец этого шеста, также совпадающим с вершиной острова. Спрашивается, какова высота острова и его расстояние от шеста?

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Взяв высоту шеста, умножь ее на расстояние между шестами, это делимое. Разность (между отступлениями) будет делителем, раздели на нее. К тому, что получится, прибавь высоту шеста, получится высота острова. Чтобы найти расстояние от предыдущего шеста до острова, надо (отступление) от предыдущего шеста, умножить на расстояние между шестами, это делимое. Разность между отходами будет делителем. Раздели на нее, получишь количество ли, на которое остров удален от шеста (ли - мера длины, равная 300 бу). Обозначим искомую высоту морского острова через H, искомое расстояние от предыдущего шеста до пика острова - через Д, высоту шестов - через h, расстояние между шестами - через d, а ?отступления? от предыдущего и последующего шестов, соответственно, через a и b (рис. 1).

Получим две пары подобных прямоугольных треугольников, вертикальные катеты обеих пар этих треугольников равны H и h, горизонтальные катеты первой пары равны D + a и a, а второй - D+d+b и b. Из подобия первой пары треугольников, следует пропорция

;

из подобия второй пары - пропорция

.

,

и на основании первой пропорции,

В данном случае, , , , , так, что

. Если записать пропорцию

как ,

то каждое отношение последней пропорции есть тангенс острого угла.