2.5 Извлечение квадратного корня

Пример. . Разобьем число, начиная с единиц, на четные и нечетные места, обозначая их буквами ч - четные и н - нечетные.

Операцию начинают с последнего нечетного места, т.е. с 18. Вычтем наибольший квадрат, т.е. 16. Разность 18 - 16 = 2 запишем вместо 18, а удвоенный квадратный корень, т.е. 2 · 4 = 8, запишем под следующим четным местом:

8 (линия удвоенного квадратного корня)

Разделим 26 на 8 и поместим 3 на линии удвоенного квадратного корня, а остаток 2 запишем вместо 26. Имеем:

Вычтем квадрат частного (т.е. 9) из нечетного места (т.е. из 26) и поместим удвоенное частное (т.е. 6) на линии удвоенного квадратного корня вместо частного, получим

Один цикл операции закончен.

Передвинем 86 на одно место вправо, получим:

Разделим 172 на 86, напишем частное 2 на линии квадратного корня, а 172 сотрем, т.к. разность 172 - 86*2 = 0

Имеем:

Вычтем квадрат частного (т.е. 4) из нечетного места (т.е. из 4), поместим удвоенное частое (т.е. 4) на линии корня вместо частного.

Процесс окончен. Последнее число разделим пополам. Получим число 432.

Приведем современный вариант извлечения квадратного корня из числа. Сначала разделим число на грани справа налево, так чтобы в каждой грани было по две цифры.

2.6 Линейные уравнения

Наиболее ранняя индийская классификация уравнений относится к III в до н.э. и составлена в зависимости от степени уравнений: линейное, квадратное, кубическое, биквадратное. Однако Брахмагупта подразделяет уравнения не только степеням неизвестного, по и пао их числу (уравнения с одним неизвестным, с несколькими неизвестными и т.д.).

У Ариабхаты I имеется несколько задач, сводящихся к решению линейного уравнения с одним неизвестным. Одна из них связана с вычислением стоимости вещи , если известно, что два человека с первоначально равными капиталами имеют различное число вещей и различные оставшиеся после покупки суммы .

Задача сводится к решению уравнения .

Ариабхата дает следующее правило решения.

«Разность между известными суммами двух людей следует разделить на разность коэффициентов при неизвестных. Частное даст величину неизвестного, если общее капиталы равны».

Таким образом, .

Среди задач, приводящих к решению линейного уравнения с одним неизвестным известна задача, обошедшая в дальнейшем под названием «задачи о курьерах» мировую алгебраическую литературу, - она приводится и в нынешних школьных руководствах. В ней требуется определить время встречи двух небесных светил по данным скоростям V1, V2 и расстоянию S между ними.

Ариабхата сообщает решение:

при движении в одну сторону; если V1<V2, то встреча произошла в прошлом. При движении навстречу или в противоположных направлениях необходимо расстояние разделить на сумму скоростей:

.

О случае, когда встреча произошла в прошлом, Ариабхата не упоминает. Индийские математики и позднее не принимали в расчет отрицательные решения уравнений и для этого изменяли подходящим образом условия задач.