Доверительные интервалы для оценок МНК

После построения регрессии нужно еще определить ее качество.

Начнем с рассмотрения доверительных интервалов для искомых коэффициентов. Мы нашли уже стандартные отклонения для коэффициентов a и b:

; .

Для определения доверительных интервалов воспользуемся критерием Стьюдента. Назначим какой-то уровень надежности, (скажем, ). Находим по таблицам соответствующее значение . Тогда доверительные интервалы будут: ; .

Теперь мы можем проверить следующую гипотезу: предположим, что для коэффициентов мы ожидаем некоторое значение. По-видимому, наиболее актуально - нулевое значение того или иного параметра. Скажем, в задаче Хаббла о законе расширения Вселенной, коэффициент a равен нулю. Допустим, что, не зная этого из теории, как оно и было в истории с Хабблом, мы предположили общую линейную модель со свободным членом, отличным от нуля. После обработки экспериментов, мы находим оба коэффициента. Определяем доверительные интервалы. И теперь можем рассмотреть нуль гипотезу: (в частном случае ) против альтернативы . Идея такая: вычисляется

.

Это значение сравнивается с табличным . Очевидно, если , то - гипотеза отбрасывается. Впрочем, Если не попадает в интервал , то это и означает, что на принятом уровне вероятности -гипотеза отвергается.

Аналогичная работа проводится с другими коэффициентами. После того, как недостоверные коэффициенты установлены, их следует исключить из рассмотрений и повторить расчеты. И т.д. Однако на этом обработка не заканчивается. Поясню сказанное следующим примером. Предположим, мы рассматриваем следующую модель:

.

При этом, нам заранее не известна наибольшая степень показателя k. Более того, какие-то слагаемые в этой сумме могут и не присутствовать, иными словами, какие-то коэффициенты bi могут быть равными нулю. Как определить максимальную степень икса, и какие коэффициенты следует исключить из рассмотрения. Во-первых, указанием на включение или не включение того или иного слагаемого может служить критерий Стьюдента. Во-вторых, для окончательного решения вопроса следует убедиться, что та или иная аппроксимация является наилучшей (по крайней мере, среди рассмотренных вариантов).