Взвешенный МНК

До сих пор явно или неявно предполагалось, что дисперсия погрешностей , т.е. постоянная величина. Однако, это сильная идеализация. В примере с кривой вращения галактики выражение для лучевой компоненты скорости имеет вид: . Уже из этого выражения ясно, что чем дальше от нас отстоит звезда, тем больше будет погрешность в измерении скорости. Следовательно, надо это каким-то образом учесть.

Другой пример. Часто измерения на графике приводят погрешностями - барами.

Из этого рисунка видно, что некоторые значения имеют большую ошибку, некоторые - маленькую. Это значит, что те, которые имеют маленькую ошибку, должны иметь больший вес, чем те, которые имеют большую ошибку.

Как учесть эту ошибку в МНК? Если результаты измерений представлены с ошибками, как это показано на последнем рисунке, то поступать следует таким образом.

Допустим, что разброс (или среднеквадратичное отклонение) и-того измерения есть . Введем вес : , где пока неизвестная величина.

Вместо отклонения измерений от регрессии введем новое так, что:

.

Ясно, что дисперсия и-того измерения будет: .

Далее, составляем невязку относительно .

.

И минимизируем ее.

В примере с кривой вращения можно поступить так. Из структуры формулы можно высказать предположение: . Тогда в качестве веса берем: , делаем замену переменных, вводим новую невязку, находим минимум.