§ 4. Основная теорема теории аффинных преобразований

Докажем следующую теорему:

Существует одно и только одно аффинное преобразование, переводящее произвольные три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, в три произвольные точки А, B, C, также не лежащие на одной прямой.[3]

Доказать единственность аффинного преобразования можно показав, что коэффициенты преобразования a, b, и c выражаются однозначно через координаты точек А(), В(), С() и A(a), B(b), C(c).

Так как точки A, B, C являются образами точек А, В и С, то их координаты можно выразить следующим образом:

Решим эту систему относительно коэффициентов преобразования a, b, c, получим их выражение через координаты точек А, В, С и A, B, C:

Таким образом, коэффициенты преобразования находятся однозначно. Опустив громоздкие выкладки, отметим, что определитель рассмотренного аффинного преобразования не равен нулю, таким образом, доказано существование и единственность искомого аффинного преобразования.