§1. Преобразование подобия

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки P и Q отображает в такие две точки P и Q, что PQ=k·PQ, где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. [2]

Введём в рассмотрение аффинное преобразование (2). Рассмотрим неколлинеарные точки M(z), P(p), Q(q) и их образы M(z), P(p), Q(q) при некотором аффинном преобразовании (2). Преобразование подобия задаётся тремя парами точек MM, PP, QQ так, что треугольник MPQ подобен треугольнику MPQ.

Существует два рода преобразований подобия. Подобие первого рода сохраняет ориентацию каждого отображаемого треугольника, а подобие второго рода отображает каждый треугольник в треугольник, противоположно ориентированный с ним. Рассмотрим теперь подобие каждого рода отдельно.

I. Пусть MPQ и MPQ - одинаково ориентированные подобные треугольники, тогда выполняются равенства , где .

Рассмотрим равенство , откуда , тогда . Обозначим второе слагаемое как , получим равенство, задающее преобразование подобия первого рода:

II. Рассмотрим теперь подобные и противоположно ориентированные треугольники MPQ и MPQ. Для них верны равенства: , где . Рассмотрим равенство , преобразуем его к виду , тогда можем выразить z: , обозначим второе слагаемое за с, тогда получим равенство, которым задаётся преобразование подобия второго рода , где (19)