2.2. Сжатие и его частные виды

Найдём собственные числа л преобразования сжатия (24) из условия . Составим систему из этого условия и сопряжённого к нему выражения : . Чтобы найти собственные числа, нужно решить уравнение , откуда получим и .

Примем без доказательства следующую теорему [1]: если л - собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования.

Рис. 3

Очевидно, что прямые MM и NN (рис. 3) являются двойными прямыми и л₂- действительное число, то точка Р делит отрезок MM в отношении , то есть . Число =д называется коэффициентом сжатия. Если а - действительное число, то направление сжатия перпендикулярно его оси и сжатие называется прямым (ортогональным) сжатием.

Рассмотрим частный случай сжатия - косую симметрию [1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу:

Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда , откуда , то есть а - чисто мнимое число. Таким образом, формулой (24) при условии задаётся косая симметрия с действительной осью. В этом случае коэффициент сжатия равен , следовательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий соответственные точки. Косая симметрия - аффинное преобразование второго рода, так как его определитель отрицателен.

Если а=0, получаем осевую симметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия - аффинное преобразование также второго рода ().

2.3. Сдвиг

Выясним, как перемещается по плоскости точка при сдвиге (рис.4). Рассмотрим равенство (22), возьмём модули обеих частей этого равенства

и посмотрим, чем является каждый модуль в (26).

Рис. 4

- это расстояние от точки М(z) до её образа M(z) при аффинном преобразовании. - это модуль постоянного вектора, перпендикулярного направлению сдвига, а - это расстояние от М(z) до точки с координатой, сопряжённой z, равное удвоенному расстоянию от точки M(z) до действительной оси Ох.

Преобразуем правую часть (26): , (27) тогда из (22) и (27) следует, что при сдвиге каждая точка M(z) смещается параллельно его оси на расстояние , пропорциональное расстоянию от этой точки до действительной оси. Коэффициент пропорциональности этих расстояний называется коэффициентом сдвига.

Найдём собственные числа преобразования сдвига из уравнения, составленного аналогично тому, как составляли для сжатия: , откуда найдём . Значит, преобразование сдвига имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига.

Определитель преобразования сдвига строго больше нуля, поэтому сдвиг - аффинное преобразование первого рода.