2.4 Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра F событий пространства элементарных событий Щ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий x_n из F принадлежат F. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют у-алгебрами событий (сигма-алгебрами).

Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле (Щ, F₀, P). Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра F = у(F₀), содержащая F₀.

Более того, справедлива теорема (о продолжении). Определённую на (Щ, F₀) неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств P = P(?) всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из F и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство (Щ, F₀, P) в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства (Щ, F, P), которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры F бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире.

Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из F, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.