2. Критерий абсолютной устойчивости Попова

Для исследования абсолютной устойчивости предложен ряд критериев абсолютной устойчивости. Наибольшее распространение из них получили следующие два: критерий устойчивости В. М. Попова и круговой критерий, предложенный А. А. Вороновым.

а б

Рис. 2

Критерий Попова используется для исследования абсолютной устойчивости систем с нелинейностью из класса [0, k], где . Для применения этого критерия структурная схема системы приводится к виду, показанному на рис. 3.

Уравнения системы

(1)

, (2)

(3)

где - управление, - вектор состояний.

Перейдя в (1) и (3) к изображениям по Лапласу, получим

. (4)

Рис. 3

Критерий В. М. Попова может применяться лишь в тех случаях, когда выполняются следующие условия:

а) ,

б) ,

в) Линейная система, полученная из нелинейной при замене на , устойчива асимптотически, то есть удовлетворяет критерию Гурвица или Найквиста при всех [0; k].

Критерий Попова. Нелинейная система, показанная на рис.3, является абсолютно устойчивой, если выполнены указанные выше условия а) - в), и при всех [0, ] выполняется неравенство:

[(1+)] (5)

Здесь - произвольное число.

Критерий Попова является достаточным.

Геометрическая форма критерия Попова. Для графического исследования системы на абсолютную устойчивость строят годограф Попова , который определяется по формуле:

()=()+().

Здесь () и () - вещественная и мнимая части , т.е. =()+(). Напомним, что именно по строится годограф Найквиста для линейной части системы, показанной на рис 3. Для примера на рис. 4 показаны годографы Попова и Найквиста , для одной и той же системы.

Рис. 4

Графический вариант критерия Попова состоит в следующем: Если через точку можно провести прямую так, чтобы годограф Попова располагался полностью справа от неё, то система абсолютно устойчива.

На рис. 5 показаны годографы Попова, построенные для абсолютно устойчивой системы (рис. 5,а) и системы не являющейся абсолютно устойчивой (рис. 5,б).

а б

Рис. 5

Путем исследования годографа Попова установлено [25. С. 185], что если линейная часть системы представляет собой последовательное соединение инерционных звеньев и не более одного интегрирующего звена, то соответствующий годограф Попова будет выпуклым (рис. 5,б). При этом предельное значение при котором система абсолютно устойчива по критерию Попова, будет совпадать со значением , даваемым критерием устойчивости Найквиста, если нелинейность заменить прямой . Поэтому, если линейная часть нелинейной системы имеет указанный вид, то для исследования абсолютной устойчивости можно применять критерий Найквиста вместо критерия Попова.

Пример 1. Исследовать на абсолютную устойчивость систему, схема которой показана на рис. 6.

Рис. 6

Нелинейность принадлежит сектору [0; 10], т.е. [0; 10].

Решение. Для решения задачи построим годограф Попова. Для этого сначала выделим вещественную и мнимую части . Имеем

.

Задаваясь значениями частоты , составим таблицу 1.

Таблица 1

Соответствующий годограф Попова построен на рис. 7. Как видно, в данном случае можно провести прямую через точку (-0,1; j0) так, что годограф Попова будет располагаться справа от неё. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива. ¦

Рис. 7

Пример 2. Исследовать на абсолютную устойчивость систему, структурная схема которой показана на рис. 3, а передаточная функция линейной части

Нелинейность [0; 5], т.е. k = 5.

Решение. Так как линейная часть представляет собой последовательное соединение инерционных звеньев, то для решения задачи можно воспользоваться критерием Найквиста. На рис. 8 показан общий вид расположения годографа Найквиста для систем с передаточной функцией заданного вида.

Рис. 8

Очевидно, для решения задачи в данном случае достаточно сравнить значения с величиной при k = 5. Поэтому запишем и найдем частоту . Имеем

Приравнивая мнимую часть знаменателя в этом выражении к нулю, получим .

Отсюда . Тогда . Условие (5), в соответствии с рис. 8, выполняется, если , т.е. если . Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива при . ¦

Не трудно видеть, что если линейная часть нелинейной системы представляет собой последовательное соединение инерционных звеньев и одного интегрирующего звена, то исследование абсолютной устойчивости значительно упрощается, так как вместо критерия Попова можно применять критерий Найквиста.