1. Основные задачи о прямых и плоскостях

1.Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве задана общая декартова система координат и две точки М₁ и М₂ с координатами (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂). Чтобы написать уравнение прямой М₁М₂, примем М₁ за начальную точку, а за направляющий вектор. Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают.

Получаем . Если в этих равенствах какой-либо из знаменателей равен нулю, то следует приравнять нулю соответствующий числитель.

В планиметрии задача решается также. Отличие только в том, что координаты точек теперь (x₁,y₁) и (x₂,y₂), и мы получаем =0.

2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть М₁, М₂,М₃ - не лежащие на одной прямой точки с координатами (x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂) и (x₃,y₃,z₃) в общей декартовой системе координат. Выберем М1 в качестве начальной точки, а и в качестве направляющих векторов. Тогда получим уравнение плоскости =0.

3. Параллельность прямой и плоскости.

Пусть известен направляющий вектор прямой a(), а плоскость задана одним из уравнений ()=0 или (-)=0. Прямая параллельна плоскости (а возможно, и лежит в ней) тогда и только тогда, когда соответственно (,)=0 или (,,)=0. Если плоскость задана линейным уравнением Ax+By+Cz+D=0, то условию параллельности - A+B+C =0. Пусть прямая задана системой уравнений .

Тогда получаем A + B + C=0, или =0.

Все приведенные здесь условия являются не только необходимыми, но и достаточными.

4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением ()=0 и точка М с радиус вектором . Рассмотрим вектор =-, соединяющий начальную точку плоскости с М(рис 1).Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор , то есть h=. Если в декартовой прямоугольной системе координат точка М имеет координаты (X,Y,Z), то равенство запишется следующим образом h=

5. Расстояние от точки до прямой.

Если прямая задана уравнением =0, то можем найти расстояние h от точки М с радиус - вектором до этой прямой, разделив площадь параллелограмма, построенного на векторах , на длину его основания (рис 2). Результат можно записать формулой h= .

Для прямой в пространстве мы не будем получать координатной записи этого выражения.

Рассмотрим прямую на плоскости, заданную уравнением Ax+By+C=0 в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть M₀(x₀,y₀) - начальная точка прямой, а M(X,Y)- некоторая точка плоскости. В качестве направляющего вектора возьмём вектор . Площадь параллелограмма равна S=. Тогда S= и h = .

Рис.2