ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. На полях сочинения Диофанта “Арифметика”, в котором исследовались рациональные и целые решения уравнения Пифагора x² + y² = z², Пьер Ферма записал одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:

“Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось”. Таким образом, Большая или Великая, а также Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ неразрешимо в натуральных числах при натуральном n > 2 .

Если термин “Последняя” не имеет разумных объяснений, то величина вклада Великой теоремы Ферма в развитие математики действительно велика: по сути дела, П. Ферма дал толчок развитию новой для своего времени области арифметики, называемой теперь диофантовым анализом и исследующей целые решения диофантовых уравнений P(x₁ , … , x_n) = 0, где P(x₁ , … , x_n) - многочлен с целыми коэффициентами от переменных x₁ , … , x_n . Само по себе уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет большого значения для математики. Однако, не поддаваясь долгое время решению (доказательство отсутствия решений - это тоже решение), оно сыграло важную роль для развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии и математики в целом: попытки доказательства Великой теоремы Ферма привели к открытию новых методов, обогативших многие смежные области математики.

Более подробно история Великой теоремы Ферма будет изложена в § 2 главы I. Пока же лишь упомянем, что в доказательстве этой теоремы (для разных n) участвовали многие известные (и даже великие) математики: Л. Эйлер, А. Лежандр, Ж.Л. Лагранж, К.Ф. Гаусс, П.Л. Чебышёв, Э. Куммер, Э. Вайлс, Р. Тейлор и др. В то же время после завещания в 1908 г. Паулем Вольфскелем премии в 100 тысяч германских марок тому, кто первым опубликует доказательство, научный мир заполонили дилетантские “работы”, издаваемые, как правило, за собственный счёт, с элементарными “доказательствами” Великой теоремы. С появлением Интернета поток таких псевдогениальных прозрений многократно усилился.

Уже доказательство Л. Эйлера Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 неэлементарно. Оно явилось одним из истоков теории алгебраических чисел. Ещё более неэлементарны исследования Э. Куммера, существенно расширившего область показателей, для которых Великая теорема Ферма стала доказанной. В XX столетии его методы были усовершенствованы и дополнены благодаря усилиям У. Вандивера, Г. Ламе и Э. Лемера. К 80-м годам XX в. с использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хⁿ + yⁿ = zⁿ в натуральных числах была установлена для всех n 2¹²⁵⁰⁰⁰ (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2¹²⁵⁰⁰⁰ записывается 37628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме Ферма стали совершенно безнадежным занятием.

Новую эру в развитии истории Великой теоремы Ферма никто не заметил. Между тем, в 1955 г. экстравагантный японский математик Ютака Танияма (1927-1958) сформулировал следующую смелую гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна (более подробно об эллиптических кривых см. § 1 главы II). Вначале её не принял всерьёз ни один из математиков-профессионалов: уж очень она казалась неправдоподобной. Однако в 1970-е годы работы Г. Шимуры и А. Вейля привлекли внимание к ней. Наконец, в 1985 г. немецкий математик Г. Фрей предположил, а американец К. Рибет доказал, что из гипотезы Таниямы следует Великая теорема Ферма.

Кульминация наступила, когда 23 июня 1993 г. математик из Принстона Эндрю Вайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (точнее той её части, которой достаточно для обоснования Великой теоремы Ферма). Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Вайлса уже готова была отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор извинился и попросил два месяца для исправления. Только через год с небольшим появилось полное доказательство но уже двух авторов - Э. Вайлса и его ученика Р. Тейлора [6, 7]. Новых пробелов в этих работах специалистами пока не найдено. Позже усилиями целой группы специалистов, среди которых был и Р. Тейлор, была доказана и полная версия гипотезы Таниямы.

Следует отметить, что доказательство Вайлса-Тейлора является сплавом глубоких математических идей, обогащающих не только теорию чисел и алгебру, но и геометрию эллиптических кривых, и анализ модулярных форм. Сам Вайлс считает, что создал новую математику. Тем обиднее, что после более десяти лет с момента опубликования доказательства Вайлса-Тейлора в Российской математической среде хранится полное молчание по поводу революционных методов Э. Вайлса (так же как и по поводу не менее революционного доказательства гипотезы Пуанкаре Г. Перельмана).

Следует отметить, что предложенное Э. Вайлсом сложное синтетическое доказательство Великой проблемы Ферма, занимающее в общем объёме более 120 страниц, ставит большие вопросы перед образованием: как готовить специалистов, способных, если не разобраться в доказательстве, то воспринять его понятийную базу и основные идеи ? Тот же вопрос повторен Г. Перельманом в доказательстве гипотезы Пуанкаре…

Наконец, следует упомянуть о новом подходе к доказательству трудных теоретико-числовых проблем (в том числе и Великой теоремы Ферма), наметившемся после формулировки в 1986 г. Массером и Остерле так называемой abc-гипотезы. Её формулировка приведена в § 3 главы II, как и обсуждение некоторых нетривиальных следствий этой гипотезы. Хотя она не доказана, но подтверждается справедливостью её аналога для многочленов и расчётами на ЭВМ, показывающими, что контрпример искать бесполезно.

Цель дипломной работы: изучить доступную литературу по истории Великой теоремы Ферма, изложить некоторые элементарные подходы к обоснованию её частных случаев, а также новые методы - с использованием теории эллиптических кривых и привлечением abc-гипотезы.

Для достижения цели решались следующие задачи:

§ изучить основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой;

§ изучить метод бесконечного спуска и на его основе доказательство теоремы Ферма для n = 4;

§ проанализировать доказательство Эйлера для n = 3 и суть идей Куммера;

§ ознакомиться с выводом К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы;

§ изучить некоторые результаты об abc-гипотезе и вывод из неё Великой теоремы Ферма;

§ по возможности проиллюстрировать теоретические результаты примерами;

§ дать полное, и по возможности подробное изложение результатов, доступное пониманию студентов математических факультетов вузов.

Математические методы исследования: в работе используются геометрические, аналитические, алгебраические методы.

Структура работы: Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Во введении дан краткий исторический обзор, сформулированы цели и задачи работы, описана её общая структура. Заключение содержит основные выводы о результатах исследования. Список использованной литературы включает 10 наименований. Общий объём работы - 67 страниц.

Первая глава “Великая теорема Ферма и алгебраические числа” содержит элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4 и обзор методов и идей Эйлера для n = 3 и Куммера для регулярных простых показателей. Более подробно: § 1 главы содержит вспомогательные сведения о делимости целых чисел и их сравнимости по модулю, в § 2 даётся описание всех пифагоровых троек и краткая история Великой теоремы Ферма, § 3 включает описание метода бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для n = 4, а § 4 - обзор идей Эйлера и Куммера её доказательства с помощью теории алгебраических чисел для n = 3 и для регулярных простых показателей.

Вторая глава “Великая теорема Ферма и abc-гипотеза” содержит посильное изложение вывода Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы (§ 1), а также некоторые результаты по abc-гипотезе (§§ 2-4): в § 2 abc-гипотеза формулируется и обосновывается для многочленов, в § 3 формулируется и обсуждается abc-гипотеза для натуральных чисел, а § 4 содержит вывод из неё некоторых теоретико-числовых результатов, включая Великую теорему Ферма.

Теоретическая и практическая значимость: Дипломная работа имеет теоретическое значение. Хотя она не содержит новых, не известных специалистам математических результатов, но даёт по возможности связное и обоснованное описание трудных, разнородных и разбросанных в литературе методов и идей. Представленное изложение материала по силам студентам математических факультетов вузов, а некоторые разделы работы - даже школьникам старших классов. Поэтому дипломная работа может быть использована в качестве учебного материала для изучения вопросов, связанных с представленными в ней темами, в учебных курсах и спецкурсах для студентов физико-математических специальностей вузов и на факультативных занятиях в школах.

Уровень самостоятельности. Основной творческий вклад автора при написании данной работы состоял в изучении большого объёма трудного для восприятия разнообразного теоретического материала, самостоятельном разборе доказательств (иногда - с помощью научного руководителя), подборе всех иллюстративных примеров и проведении вычислений в них.

Доклад автора по материалам дипломной работы занял третье место на секции “Математика” традиционных Менделеевских чтений в ТГСПА им. Д.И. Менделеева в 2012 г.