1. Верхнее центральное число семейства функций

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций:

, ,

зависящее от параметра x непрерывно в том смысле, что из следует

равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0,t]. Параметр x может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.

Определение 1 [1, с.103]: ограниченная измеримая функция R (t) называется верхней функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R (t):

,

т.е. если

,

где - константа, общая для всех и , но, вообще говоря, зависящая от выбора R и >0.

Определение 2 [1, с.103]: совокупность всех верхних функций называется верхним классом семейства P (обозначим через N=N (P)).

Определение 3 [1, с.534]: число

называется верхним средним значением функции p (t).

Определение 4 [1, с.103]: число

где - верхнее среднее значение функции R (t), называется верхним центральным числом семейства P. Оно будет обозначаться также .

Докажем следующее утверждение: если семейство состоит из двух функций и при этом , то верхний класс семейства P можно считать состоящим из одной функции , и .

Неравенство означает, что

и для любого существует такая константа , что

Или

(1)

Аналогичное неравенство для функции очевидно

.

Согласно определения 1 является верхней функцией для семейства

.

Докажем равенство

.

Если существует такая верхняя функция , что для всех , то эта функция одна образует верхний класс и [1, с.104].

Найдем такую верхнюю функцию , что .

Рассмотрим интегралы

Разделим последнее неравенство на (t-s), получим

Устремив и вычислив верхний предел при , получим

или

Итак, имеем

Значит, .

Так как - верхняя функция, то .