1.3.1 Задачи на построение правильных многогранников

Рассмотрим наиболее оригинальные способы построения правильных многогранников.

Задача 1. Построить правильный тетраэдр.

Решение

Пусть дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис.1.4). Рассмотрим какую - либо его вершину, например А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противоположную А, - вершины куба В₁ , С₁ , D. Точки А, В₁ , С₁ ,D. Являются вершинами правильного тетраэдра. Действительно, каждый из отрезков АВ₁ , В₁С₁ , С₁D , АD, В₁D и АС₁ , очевидно, служит диагональю одной из граней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следует, что в треугольной пирамиде с вершиной А и основанием В₁С₁D все грани - правильные треугольники, следовательно, эта пирамида - правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.

Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра А₁ВСD_{1 ,} равного первому и также вписанного в данный куб. Следовательно, можно построить ровно два правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.

Рис. 1.4. Куб