§11. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.
Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго –. Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.)с рядом распределения:
| … |
|
| … |
| ||||
|
| … |
|
| … |
|
Математическое ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пустьесть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в., т.е. риском для Первого при игре со стратегиями . Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, тоесть случайный проигрыш Второго ивполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.
Предположим сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры – обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями: –Первый игрок и– Второй. Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначим ее. Но что же назвать риском всей игры? Вычислим дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.. Так как , а через сумма обозначена . Заметим, что в сумме можно оставить лишь те слагаемые, у которых Заметим теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает-й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:
| … |
|
| … |
| ||||
|
| … |
|
| … |
|
Если есть оптимальная стратегия Первого, а, то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры, а дисперсия выигрыша Первого при этом равна, то есть равна. Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегияхи дисперсиюили величиныи. ПустьКак легко понять, если средиесть разные числа, то
Теперь можно сделать следующий вывод: Чуть-чуть отойдя от своей оптимальной стратегии (смотрите ниже Пример) и таким образом почти не уменьшив свой выигрыш, Первый может значительно уменьшить свой риск. При этом уменьшается и риск Второго, что отвечает и его интересам. Чисто математически можно сказать, что в описанной ситуации риск выигрыша Первого не зависит от его стратегии непрерывно. Рассмотрим подробно пример матричной игры с матрицей . Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.
Пример. Пусть матрица игры есть. Графическое решение этой игры показано на рисунке 1.
Рис. 1. Цена игры , оптимальные стратегии игроков есть,. Дисперсия выигрыша Первого при оптимальных стратегиях, т. е. риск игры равен примерно 1. Далее вычисления дают,;,Примерная, но достаточно точная зависимость риска Первого в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 2.
Как видно из рис. 2 при отходе Первого от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности x выбора им 1-й строки. Второй начинает отвечать 1-й чистой стратегией и риск Первого скачком увеличивается до , а при отходе Первого от своей оптимальной стратегии влево Второй переходит на свою 2-ю чистую стратегию и риск Первого скачком снижается до
Аналогичное верно и в отношении Второго. Кратко повторим. Примерная, но достаточно точная зависимость риска Второго в малой окрестности его оптимальной стратегии показана на рис. 3. Как видно из рис. 3 при отходе второго от своей оптимальной стратегии вправо, т. е. при увеличении вероятности у выбора им 1-й строки Первый начинает отвечать 2-й чистой стратегией и риск Второго скачком уменьшается до , а при отходе второго от своей оптимальной стратегии влево Первый переходит на свою 1-ю чистую стратегию и риск Второго скачком увеличивается до
Пусть . Эту величину и можно назвать риском всей игры. Однако играть с таким риском можно лишь при согласии обеих сторон. Для анализируемой игрыи игроки для достижения такого риска должны играть так: Первый играет со своей оптимальной стратегией3,5), а Второй должен использовать 2-ю чистую стратегию.
- §1. Цели и задачи курсового проекта
- §2. Задание на курсовОй ПрОект
- §3. Организация выполнения курсовоГо ПрОекта
- §4. Линейная производственная задача
- §5. Двойственная задача
- §6. Задача о "расшивке узких мест производства"
- §7. Транспортная задача линейного программирования
- §8. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений
- §9. Динамическая задача управления производством и 24запасами
- §10. Матричная модель производственной программы предприятия.
- §11. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества.
- §12. Анализ доходности и риска финансовых операций.
- §13. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
- §14. Принятие решений в условиях неопределенности.
- §15. Математико-статистический анализ данных