Лекция 6. Метод разделения переменных исследования устойчивости разностных схем
Этот метод применяется для строгого обоснования устойчивости многих линейных схем и нестрогого, но плодотворного исследования большинства нелинейных задач, возникающих в практике вычислений. При его помощи устанавливается устойчивость в
Рассмотрим применение метода к линейным двуслойным схемам, записанным в канонической форме
(29.4)
где В и А – некоторые разностные операторы, действующие на у (или ) как на функцию пространственной переменной. Например, для явной схемы для уравнения теплопроводности имеем
При фиксированной правой части погрешность решения удовлетворяет однородному уравнению
. (29.5)
Будем искать для этого уравнения частное решение с разделяющимися переменными
. (29.6)
При этом так что- есть множитель ростаq-й гармоники при переходе со слоя на слой. Подставляя (29.6) в (29.5), получим уравнение для определения . (29.7)
Будем считать, что схема (29.4) имеет постоянные коэффициенты и задана на равномерной сетке. Тогда уравнение (29.7) после сокращения множителя exp(iqx) не будет зависеть от координаты х (или от ее индекса n). Следовательно величина не будет зависеть отх или t.
Признак устойчивости. Схема (29.4) с постоянными коэффициентами устойчива по начальным данным, если для всех q выполняется неравенство
(29.8)
Доказательство. Система функций полна и ортогональна на равномерной сеткеРазложим произвольную ошибку начальных данныхв ряд Фурье по этой системе
=.
Поскольку для линейного уравнения (29.4) справедлив принцип суперпозиции, то метод разделения переменных дает для ошибки на слое tm следующее выражение
=.
Используя ортогональность гармоник, получаем отсюда
При помощи условия (это условие теоремы) преобразуем это неравенство к виду
что совпадает с признаком устойчивости по начальным данным
Утверждение доказано.
Замечание 1. Из признака устойчивости (29.8) и условия æ/следует устойчивость схемы по правой части в
Замечание 2. Фактически константа с в (29.8) не должна быть большой, иначе устойчивость будет слабой. Поэтому при проверке этого признака обычно полагают с = 0.
Признак неустойчивости. Если хотя бы для одного q величину нельзя мажорировать величиной, то схема (29.4) неустойчива.
Доказательство. Пусть в начальных данных имеется ошибка вида с даннымq. Тогда к моменту она возрастет враз, что по модулю больше величиныпри сколь угодно большомс. Неограниченный рост ошибки означает неустойчивость схемы.
Пример. Исследуем устойчивость явной схемы
для уравнения теплопроводности. Для этой схемы уравнение
(29.7) примет вид
Отсюда вытекает, что множитель роста
Тогда уравнение с учетом замечания 2 (т.е. условияс = 0) приобретает вид Это неравенство выполняется для любогоq, если
то есть или.
Таким образом, явная схема устойчива условно.