Дм. Лекция №6 Тема: «Алгебраические структуры»

Для моделирования кибернетических систем важнейшую роль играют алгебраические структуры. Эти структуры позволяют описывать дискретное строение таких систем и дискретность функционирования таких систем.

def. Множество М вместе с набором операций , M, где n_i - рангом операции , называется алгебраической структурой, универсальной алгеброй или просто алгеброй.

Множество М называется основным (несущим) множеством или основой (носителем); упорядоченная последовательность рангов (n₁,…, n_m) называется типом; множество операций S называется сигнатурой.

Запись: < М ; S > или < М ; >. Операции конечноместны, сигнатура S конечна. Носитель необязательно конечен, но не пуст.

Замечание. Далее для обозначения алгебры везде, где это возможно, используется прописная рукописная буква, а для обозначения ее носителя – соответствующая печатная прописная буква:

А = < A, S >.

def. Алгебры А = < A, f₁, …, f_s > и В = < В, > называются однотипными, если их типы совпадают, то есть ранг операции совпадает с рангом соответствующей ей операции для

i = 1,..s.

Примеры.

1. Пусть + и ∙ (сложение и умножение) - арифметические операции на множестве целых чисел. Алгебра < Z,+, ∙ > является алгеброй типа (2,2).

2. Пусть + и ∙ (сложение и умножение) - арифметические операции на множестве натуральных чисел. Алгебра < N,+, ∙ > является алгеброй типа (2,2).

3. Пусть P(U) – множество всех подмножеств непустого множества U и ,‾ - операции пересечения, объединения и дополнения над подмножествами множества U. Алгебра < P(U), ,‾ > является алгеброй типа (2,2,1).