Некоторые диофантовы уравнения
Курсовая работа
студента III курса ФМФ
Матаева Евгения Викторовича
Научный руководитель:
к.ф.-м.н. Валицкас А.И.
Оценка: ____________
Тобольск – 2011
Содержание
Введение……………………………………………………………………........2
§ 1. Линейные диофантовы уравнения…………………………………..3
§ 2. Диофантово уравнение x2 – y2 = a………………………………….....9
§ 3. Диофантово уравнение x2 + y2 = a…………………………………... 12
§ 4. Уравнение х2+ х + 1 = 3у2…………………………………………….. 16
§ 5. Пифагоровы тройки………………………………………………….. 19
§ 6. Великая теорема Ферма………………………………………………23
Заключение……………………………………………………………….….....29
Список литературы...........………………………………………………..30
ВВЕДЕНИЕ
Диофантово уравнение – это уравнение вида P(x1 , … , xn) = 0, где левая часть представляет собой многочлен от переменных x1 , … , xn с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u1 ; … ; un) целых чисел со свойством P(u1 , … , un) = 0 называется (частным) решением диофантова уравнения P(x1 , … , xn) = 0. Решить диофантово уравнение – значит найти все его решения, т.е. общее решение этого уравнения.
Нашей целью будет научиться находить решения некоторых диофантовых уравнений, если эти решения имеется.
Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:
а. Всегда ли диофантово уравнение имеет решение, найти условия существования решения.
б. Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение диофантова уравнения.
Примеры: 1. Диофантово уравнение 5x – 1 = 0 не имеет решений.
2. Диофантово уравнение 5x – 10 = 0 имеет решение x = 2, которое является единственным.
3. Уравнение ln x – 8x2 = 0 не является диофантовым.
4. Часто уравнения вида P(x1 , … , xn) = Q(x1 , … , xn), где P(x1 , … , xn), Q(x1 , … , xn) – многочлены с целыми коэффициентами, также называют диофантовыми. Их можно записать в виде P(x1 , … , xn) – Q(x1 , … , xn) = 0, который является стандартным для диофантовых уравнений.
5. x2 – y2 = a – диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными x и y при любом целом a. Оно имеет решения при a = 1, но не имеет решений при a = 2.