3.3. Метод центральної симетрії

Для ефективного застосування методу центральної си­метрії до розв'язування задач на побудову необхідно до­бре вміти будувати образи найпростіших фігур (точки, прямої, променя, відрізка, кола і т. ін.) при централь­ній симетрії, знати найпростіші властивості перетворення центральної симетрії (інваріантні відносно цього перетво­рення фігури, числові інваріанти і т. ін.). Успіх застосу­вання цього методу залежить, зокрема, від вдалого вибору центра симетрії.

Можливості розв'язування задач методом центральної симетрії проілюструємо на прикладах.

Задача 1. Побудувати квадрат , якщо дана його центр і дві точки і відповідно на сторонах і (Рис. 43).

Аналіз. Точка - центр симетрії квадрата, тому при центральній симетрії відносно т. маємо: , ; , N План побудови

1. , .

3. ; ;

4. ; ; D Дослідження. 1. Якщо т. , і не лежать на одній прямій, то кожний пункт плану побудови можна ви­конати однозначно і тому задача має 1 розв'язок.

2. Точки , і лежать на одній прямій, але та не є симетричними відносно т. - задача розв'язку не має

3. і симетричні відносно , задача невизначена (безліч розв'язків).

Задача 2. Через дану точку провести пряму так, щоб її відрізок з кінцями на даній прямій і даному колі ділився точкою А навпіл (Рис. 44).

Аналіз. Нехай і дані пряма і коло, - шуканий відрізок і . За умовою задачі . Нехай . Тоді із того, що отримуємо, що . Отже .

План побудови

Оскільки центрально симет­ричні прямі паралельні, то для побудови прямої досить по­будувати образ будь-якої точки прямої і через т. провести пряму , па­ралельну .

Доведення. Маємо, що . Доведемо, що . З п. 1 . З п. 2 . З другого боку, , тобто .

Дослідження. Пряма однозначно визнача­ється прямою і точкою . Точок перетину прямої з колом може бути не більше двох. Отже, задача має два розв'язки, один розв'язок або не має розв'язку, що залежить від взаємного розміщення даних фігур, т. , прямої та кола .

Задача 3. Дано кола і , що перети­наються, і відрізок .Через точку перетину даних кіл провести січну так, щоб (Рис. 45).

Аналіз. Нехай є шу­каною прямою. Для того, щоб зобразити на малюнку різ­ницю , відкладемо на промені від його по­чатку відрізок так, щоб . Тоді і , а .

Проведемо , , . Тоді .

Нехай. Тоді , є прямокутним і тому . Якщо - середина , то . Шукана пряма проходить через точку паралельно до прямої , (або ж перпендикулярно до (OH)).

План побудови

1. ;

Доведення. В зв'язку з тим, що , то точки перетину їх з і теж симетричні відносно точки . , . Отже, .

Дослідження. Пункти 1 і 3 побудови завжди можна виконати однозначно. Кількість розв'язків задачі зале­жить від кількості точок . При  2 розв'язки (див. Рис. 34), при  нема розв'язку.

Задачі для самостійного розв'язування

4. Дано прямі, які перетинаються, і точка, що лежить на цих прямих. Побудувати відрізок з кінцями на даних прямих і серединою в даній точці.

5. Через точку А перетину двох кіл провести пряму, на якій ці кола відтинають рівні хорди.

6. Всередині кута з вершиною О дана точка М. Побу­дувати пряму ОМ, не використовуючи точки О.

7. Побудувати паралелограм дві протилежні вершини якого були б розміщені в даних точках, а дві інші - на даному колі.

8. Через дану точку Р, що лежить всередині даного кута, провести пряму так, щоб її відрізок, обмежений сто­ронами кута, ділився точкою Р навпіл.