Теория подобия как основа моделирования потоков

При изучении явлений, происходящих в машинах и сооруже­ниях, наука широко пользуется методом моделирования этих явлений в лабораторных условиях. Преимущество такого метода заключается в том, что изучение физических явлений может быть произведено на модели значительно проще, полнее и выгоднее, чем в натуре.

Однако результаты опытов с моделью могут быть использованы для решения задач только в том случае, если при проведении опы­тов соблюдаются определенные законы моделирования – законы подобия.

Нахождение критериев подобия при моделировании изучае­мых процессов требует глубокого знания деталей этих процессов и в общем случае является очень трудной задачей. При решении этой задачи следует все изучаемые процессы разделить на две группы. К первой надо отнести процессы и явления, уже имеющие математическое описание. Ко второй, представляющей наибольший интерес, относятся процессы и явления, еще не имею­щие математического описания.

В тех случаях, когда уравнения исследуемых процессов не­известны, единственной теорией, позволяющей найти числа по­добия, является теория размерностей, которая в настоящей работе не рассматривается. При наличии дифференциальных уравнении исследуемых процессов числа подобия легко опре­деляются как коэффициенты уравнений, представленных в без­размерном виде.

Рассмотрим гидродинамическое подобие и подобие переноса тепла и вещества.

При моделировании гидродинамических явлений должны быть соблюдены геометрическое, кинематическое и динамическое по­добия.

Соблюдение геометрического подобия означает, что модель подобна натуре, т. е. все сходственные линейные размеры исследуе­мой модели в одинаковое число раз меньше или больше, чем соот­ветствующие размеры натуры. При этом не следует забывать о шероховатости поверхности.

Кинематическое подобие означает, что безразмерные поля скоростей в рассматриваемых потоках одинаковы.

Для выполнения динамического подобия двух потоков тре­буется, чтобы потоки описывались подобными дифференциаль­ными уравнениями движения и имели подобные граничные усло­вия.

Для моделирования потоков жидкостей и газов и происходящих при этом процессов переноса тепла и вещества используют следующие безразмерные критерии подобия (для переноса тепла и переноса вещества эти числа будет соответственно называть тепловыми и диффузионными):

Число Рейнольдса

Число Эйлера

Число Фруда

Число Струхаля (критерий гомохронности);

Число Фурье

Число Архимеда ( и - плотность частиц и плотность жидкости);

Число Прандтля тепловое

диффузионное

смешанное

Число Нуссельта тепловое

диффузионное

где - характерная скорость, м/с;

- характерный размер, м;

- плотность, кг/с;

- кинематическая вязкость, м²/с;

- динамическая вязкость ( ), Па·с;

- давление, Па;

- ускорение свободного падения, 9.81 м/с²;

- характерное время, с;

- разность удельных весов;

- коэффициент температуропроводности;

- коэффициент теплопередачи;

- коэффициент переноса массы;

- коэффициент сопротивления;

- коэффициент диффузии.

Каждое из этих чисел характеризует условие подобия в зависимости от класса сил, действующих в потоке. Одинаковость чисел Re, Fu, Fr в подобных потоках означает соответственно равенство отношений сил вязкости, сил давления и массовых сил к силам инерции. Условие подобия по числам Sh и Fu имеет значение для неустановившегося движения.

В случае движения сжимаемого газа число Eu можно пред­ставить в следующем виде:

где а — местная скорость звука, определяемая по формуле

где k — показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме ( ).

Отношение скорости движения с к местной скорости звука а обычно обозначается через

М=с/а – число Маха.

Тогда формула (*) получается

Следовательно, для выполнения подобия с учетом сжимаемости необходимо, чтобы для модели и натуры числа М и были соот­ветственно одинаковыми.

Таким образом, если два потока жидкости динамически по­добны, то для них должны соблюдаться следующие условия:

Re₁ = Re₂; Fr₁ = Fr₂; и М₁ = М₂,

причем индекс 1 относится к одному из рассматриваемых потоков, а индекс 2 — ко второму.

При турбулентном движении жидкости в подобных потоках, помимо указанных чисел подобия, должны быть одинаковыми основные характеристики турбулентного потока: степень турбу­лентности и масштаб турбулентности.