Несобственные интегралы I и II рода

Понятие определенного интеграла было введено для функций, заданных на интервале [a; b]. Однако существуют понятия интеграла на случай функций, определенных на неограниченных интервалах.

Пусть функция определена на бесконечном интервале [a; ) и интегрируема на любом интервале [a; b], где b < .

Несобственным интегралом I рода функции f(x) на интервале [a; ) называется предел

= (6)

Если предел в левой части равенства (6) является конечным числом, то интеграл называется сходящимся, если этого предела не существует или он равен , то говорят, что интеграл расходится.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение

Имеем

| | =

Тест 6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

1) расходится;

2)

3) 1;

4)

5) 2.

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что подынтегральная функция на [a; b] является ограниченной. Тем не менее существует обобщение понятия определенного интеграла и на случаи, когда нарушается требование ограниченности подынтегральной функции на [a; b].

Предположим, что f(x) является ограниченной и интегрируемой на любом отрезке [a + ; b], 0 <  < b – a, но неограниченной в любой окрестности точки а. В таком случае точка а называется особой точкой.

Несобственным интегралом II рода функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел

= (7)

Если предел в левой части равенства (7) существует и является конечным числом, то интеграл называется сходящимся. В противном случае он называется расходящимся.

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение

Имеем

| =

Делаем вывод, что данный несобственный интеграл расходится.

Тест 7. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: