Интерполяционный многочлен Ньютона

Если точки x_i – равноотстоящие, т.е. x_i = x₀ + i × h, ,гдеh– шаг – некоторая фиксированная величина, то интерполяционный многочлен может быть записан в другом виде (так называемый интерполяционный многочлен Ньютона).

где , а– конечные разности.

Конечные разности определяются следующим образом:

Примеры интерполяционных многочленов Лагранжа и Ньютона.

Пусть функция f(x) = ln(x) задана в точкахx= 1.5, 2.0, 2.5, 3 своими значениямиf(1.5)=0.4055, f(2.0)=0.6931, f(2.5)=0.9163, f(3.0)=1.0986. Необходимо вычислить значение функции в точке x=2.2. Воспользуемся интерполяционной формулой Лагранжа. Получаем

Расхождение с точным значением ln(2.2) = 0.78846 составляет » 3×10^-4.

Перед вычислением интерполяционного многочлена Ньютона вычислим сначала величину qи значения конечных разностейD^ky_i.

Имеем:шаг h = 0.5, x = 2.2, x₀ = 1.5, .

Для вычисления конечных разностей составим таблицу:

В этой таблице числа в столбцахDy, D²yи т.д. получаются как разность двух соседних чисел из предыдущего столбца.

Далее имеем

Полученное число 0.78879 – значение, которое, как и следовало ожидать, совпадает со значением, найденным с использованием интерполяционного многочлена Лагранжа.