Тема 14. Алгебраические группы. Определение и свойства. Подгруппы. Конечные группы и циклические подгруппы степеней элементов.

В качестве следующего, более узкого, класса бинарных алгебр рассмотрим моноиды, в которых всеэлементы обратимы. Такие алгебры называются группами.

Алгебраическая группа – это алгебра с ассоциативной операцией и нейтральным элементом, в которой у каждого элемента имеется обратный элемент.

Множество таких алгебр можно определить следующей формулой:

G = {A,  | (xA yA zA (xy)z = x(yz)) & (eA) & (xA ex=xe=x) & (xA yA xy=e)}

Покажем, что в алгебраической группе у каждого элемента есть единственный двусторонний обратный элемент.

Заметим, что каждая группа по определению является также моноидом, поэтому для конечныхгрупп это свойство выполняется автоматически (исходя из рассмотренной цикличности множества степеней сократимых элементов – по приведённому определению все элементы обратимы слева, следовательно, также и сократимы слева). Но данное свойство носит общий характер.Даже в бесконечных группах обратимость двусторонняя и единственная.

Вычислим xy, зная, чтоxy=e:

xy=e  xy=xey=x(yx)y=(xy)(xy)

Обозначим z=xy. Получили уравнениеzz=z zz=ze. Сокращаяzслева (в группе все элементы сократимы слева) получаемzz=ze xy=e. То есть,в группе левый обратный некоторого элемента является одновременно и его правым обратным. Отсюда следует правая сократимость и единственность обратимости.

Поэтому часто в определении для группы A, сразу пишут

xA !yA xy=e

Это свойство показывает функциональнуюзависимость обратного элемента от обращаемого. Эту функцию естественно назватьунарной операцией обращения. Обозначим (единственный и двусторонний) обратный для элементаxкакx^-1­:

x^-1x=xx^-1=e

Кроме единственности обратного элемента, отметим для групп следующие свойства:

1. Уравненияax=bиya=bимеют единственные решенияx=a^‑1bиy=ba^‑1соответственно:

ax=b  x=a^‑1b

ya=b  y=ba^‑1

2. (ab)^‑1=b^‑1a^‑1

Замечание. Несмотря на похожие обозначения, рассматривавшаяся ранее операция обращения бинарных отношений^‑1={(x,y) | (y,x)} в общем случае не может рассматриваться в качестве обратного элемента для отношения по операции композиции. Бинарные отношения относительно композиции образуют моноид, но, в общем случае, не группу. ОбозначивM={|AA} получаем алгебру композиций отношенийM, . Эта алгебра будет моноидом. Действительно, композиция ассоциативна и_Aбудет играть роль нейтрального элемента:_A=_A=. Но в такой алгебре есть нулевой элемент – пустое отношение:==. При этом^‑1=(как обратное отношение), но=_Aкроме вырожденного случая, когдаA=,M={} и_A=.

Для конечныхгруппA, таблицы Кэли представляют собой таблицы, где каждая строка и каждый столбец представляют собой некоторую перестановку элементов множестваA. Это следует из двусторонней сократимости всех элементов. В таких таблицах легко проиллюстрировать обратимость и единственность решения уравнений:

В конечных группах всеэлементы образуют циклы степеней. Множество значений степеней некоторого элементаB_a ={ x | iℕ x=aⁱ } обладает свойствомзамкнутостиотносительно бинарной операции (по правилу сложения показателей степеней):

xB_a & xB_a  iℕ jℕ x=aⁱ & y=a^j  xy=aⁱa^j=a^i+j  xy  B_a

Число различных значений степеней некоторого элемента– число элементов множестваB_a–называют порядком элемента в группеA, . Порядок элемента обозначают в виде функции от элементаord(a)=|B_a|. Удобным способом представления элементовbB_aявляетсяминимальныйпоказатель степениi, в которую надо возвести элемент а, чтобы получитьb=aⁱ, так как еслиord(a)=kто выраженияaⁱиa^i+kпредставляют один и тот же элемент. При этомa^k=e,kэто минимальный натуральный показатель степени, на котором достигается такое равенство. С учетом такого представления результат операции между двумя степенямиaⁱa^j=a^i+jудобно записать в виде

aⁱa^j=

Здесь символом R_k(m) обозначена функция, вычисляющая остаток от деления числаmна числоkтак, чтобыm=pk+R_k(m) и 0≤R_k(m)<k. При этом остаток, равный 0 означает, чтоaⁱa^j=a^i+j=e. То есть числоi+jделится наord(a). Удобно в связи с этимдоопределитьформальную степень так, чтобы вычислять её не только для натуральных показателей, но и для показателя, равного 0.По определению

a⁰=e

В группах можно ввести и отрицательныестепени. По определению, для целого положительногоka^-k=(a^k)^-1. При этом(a^k)^-1 = (a^-1)^k, так как

Можно назвать операцию сложения показателей aⁱa^j=дляord(a)=kсложением по модулюkи обозначитьR_k(i+j)=. Будем, например, записывать

aⁱa^j=.

Кроме замкнутости по бинарной операции, заметим, что для каждого элемента bB_aего обратный элементb^-1тоже представим в виде степени элемента (имеет место замкнутостьB_aпо обратимости):

bB_a  i 0≤i<k & b=aⁱ  a^kib=a^kiaⁱ=a^k=e  b^-1=a^ki b^-1B_a

Свойство замкнутости по операции позволяет рассматривать на множествеB_aалгебруB_a, . Представление элементовB_aпоказателями степенями элементаaустанавливает взаимнооднозначное соответствие между элементами этого множества и множеством целых чиселZ_k={i | 0≤i<k}. Рассматривая множествоZ_kс операцией как алгебруZ_k, , можно заметить её изоморфизм сB_a, :

Z_k, B_a, 

При этом в качестве функции берется функция, определяемая свойствомiZ_k f(i)=aⁱ. Соотношение изоморфизма выглядит следующим образом:

iZ_k jZ_k  f(ij) = f(i)f(j) = aⁱa^j==  f(ij)

Точно такую же структуру имеет уже упомянутая алгебра классов вычетов по модулю kс операцией +, получается заменой обозначений чиселiZ_kна обозначения классов вычетов [i]ℤ_k. ПотомуB_a,  ~ ℤ_k, +.

Кроме того, заметим, что eB_a. Получаем, что внутри множестваAгруппыA,  содержится замкнутое подмножествоB_a, на котором для операциивыполнены все определяющие свойства группы.

A, GaAB_a, G.

Если замкнутое в группе A,  по бинарной операции  и по обратимости подмножество BA содержит нейтральный элемент, то алгебра B,  называется подгруппой группы A, .

B, - подгруппаA, G (xB yB xyB) & (xB x^-1B) & (eB)

В каждой группе, по крайней мере, множество, состоящее только из нейтрального элемента, и вся алгебра целиком являются подгруппами. Эти подгруппы называют несобственными. Остальные подгруппы, если они существуют, называютсобственнымиподгруппами.

Ранее было доказано, что в конечной группе степени каждого элемента образуют подгруппу.

Такие подгруппы, как было отмечено, представляют собой циклы степенного ряда образующего элемента. Поэтому их называют циклическими подгруппами. Также отметим, чтолюбая циклическая подгруппа изоморфна алгебре сложения классов вычетов по модулю порядка образующего элемента.

Тема 15. Циклические группы. Изоморфизм циклических групп и сложения классов вычетов по модулю n. Смежные классы элементов по подмножежствам-подгруппам. Разбиения множества элементов группы на смежные классы по подгруппам.

Если в группе A, имеется элементc, своими степенями покрывающий все множествоA, то такая группа называетсяциклической.Элементc называетсяпорождающим элементом циклической группы.

A, G – циклическая  cA xA kℕ x=c^k  B_c=A

Для циклических групп отметим следующие свойства.

1. Циклическая группа существует для любого числа элементов.

Например, kℕ ℤ_k, +–циклическая группа.

2. Для заданного числа элементов все циклические группы изоморфны.

Ранее было показано, что каждая циклическая группа из kэлементов изоморфнаℤ_k, +. Из транзитивности и симметричности изоморфизма следует взаимный изоморфизм их всех для данногоk.

3. Циклические группы коммутативны.

Следует из коммутативности сложения показателей степеней образующего элемента.

Так как в конечной группе для каждого элемента его обратный элемент и нейтральный элемент представим как некоторая натуральная степень выбранного элемента, в конечной группе любое замкнутое подмножество образует подгруппу.

xB yB xyB xB kℕ x^kBxB x^-1B & eB

При рассмотрении таблиц Кэли для групп было отмечено, что их строки и столбцы представляют собой перестановки элементов некоторого множества – каждый элемент присутствует ровно один раз в каждом столбце и в каждой строке. Таблицы с таким свойством называются латинскими квадратами. В группах имеется аналог этого свойства для целых подмножеств элементов. Для его рассмотрения дадим следующие определения и обозначения:

Пусть A, – некоторая алгебра,BAиxA.

Множество xВ={xb |bB} называетсялевым смежным классом, порождаемым элементомxпо подмножествуB.

Множество Bx={bx |bB} называетсяправым смежным классом, порождаемым элементомxпо подмножествуB.

Элемент xназывают образующим элементом класса (левого и правого).

Эти множества можно представить как части строк (левые классы) и части столбцов (правые классы), озаглавленных символом x, соответствующие выделенному подмножеству заголовков столбцов или строк (множествоB) таблицы Кэли. Следующие рисунки дают иллюстрацию к такому выделению.

Если алгебра является группой, соответствие между выделенными заголовками и элементами на строке (или на столбце) будет взаимнооднозначным. Это следует из свойства сократимости всех элементов.

Это означает, что в группах любое подмножество и оба его смежных класса (левый и правый) при любом образующим элементе будут равномощными множествами.

A, G  BA xA (B  xB & B  Bx) 

BA xA|B| = |xB| = |Bx|

yB f(y)=xy

yB g(y)=yx

Покажем, что если множество B образует подгруппу в группе A, , то множество (семейство) смежных классов (неважно, левых или правых) образует разбиение множества A.

Рассмотрим семейство левых смежных классов {xB | xA} по подгруппеB, . Семейство правых классов рассматривается аналогично.

Любой смежный класс не является пустым множеством

eB xxB B

Семейство смежных классов покрывает множествоA

xxB 

Если два класса имеют общий элемент, они полностью совпадают.

Формулировка: xByB xB = yB

Доказательство. xByBzzxB & zyBz uB vB z=xu=yv

Покажем что xB yB. То, чтоyB xB, показывается аналогично.

txB 

bB t=xb=xeb=xuu^-1b=yvu^-1b=yw & w=vu^-1b & wB 

wB t=yw  tyB

(txB  tyB)  xB  yB

Здесь использовано свойство замкнутости подгруппы по бинарной операции и обращению: uB & vB & bB  vu^-1bB.Объединяя два включения множеств, получаем равенство:

xB  yB & yB  xB  xB = yB

Семейство левых смежных классов обозначим

A _^LB = {xB | xA}

Семейство правых смежных классов обозначим

A _^RB = {Bx | xA}

Теорема о соотношении числа элементов группы и подгруппы и её следствия.

Объединяя свойство разбиения множества Aи равномощность смежных классов, получаем следующее соотношение между числом элементов множестваA, числом элементов в подгруппеB, и числом различных смежных классов по данной подгруппе:

Число элементов в конечной группе A,  равно числу элементов в подгруппе B, , умноженному на число различных левых смежных классов по данной подгруппе.

Такое же свойство имеет место и для правых смежных классов.

A, G & |A|ℕ & (BA) & (xB yB xyB)|A| = |B|  |A _^LB| = |B|  |A _^RB|

Отсюда видно, что число различных левых смежных классов подгруппы совпадает с числом различных правых смежных классов. Оно равно частному от деления числа элементов в множествеAна число элементов в множествеB.

|A _^LB| = |A _^RB| = |A| / |B|

Это число называют индексом подгруппы B, в группеA, .

Так как число элементов Aпредставимо в виде произведения (|A _^LB| классов по |B| элементов в каждом),подгруппа по числу элементов должна быть делителем числа элементов в конечной группе. Это утверждение известно как теорема Лагранжа.

A, G & |A|ℕ & BA & (xB yB xyB)|B||A|

Здесь вертикальной чертой показано бинарное отношение делимости чисел,mnчитается «mделитn».

В частности, циклические подгруппы степеней элементов должны подчиняться этому условию: порядок каждого элемента конечной группы является делителем числа элементов группы.

A, G & |A|ℕ  aA ord(a)|A|

В связи с этим особый случай получается, если число элементов множества Aне имеет собственных делителей. В теории чисел такие числа называютпростыми. Их делителями являются только само число и число 1. В этом случае порядок каждого элемента, как следует из рассмотренного свойства, должен быть делителем простого числа. Это значит, что у каждого элемента в группе с простым числом элементов порядок будет равен либо общему числу элементов в группе, либо 1. Порядок равный 1 может быть только у нейтрального элемента, так как только он может являться решением уравненияxx=x. Следовательно, все остальные элементы своими степенями обязаны покрывать всё множествоA, и группа оказывается циклической. Получили следующее свойство:

Если число элементов группы является простым, группа является циклической и каждый элемент, отличный от нейтрального элемента, является порождающим элементом группы.

A, G & |A|=p & (kp  (k=1  k=p))  cA (ord(c)=1  ord(c)=p)

 cA (c=e  (xA kℕ x=c^k))

При простом числе элементов алгебраическая группа единственна с точностью до обозначений элементов и является коммутативной группой(изоморфна алгебре сложения классов вычетов по модулю простого числа).

A, G & |A|=p & (kp  (k=1  k=p))  A,  ~ ℤ_p, +

В группе с простым числом элементов не может быть собственных подгрупп.

A,  G & |A|=p & (kp  (k=1  k=p)) & BA & (xB yB xyB)  (B=A)  (B= {e})

Отношение эквивалентности между элементами групп. Критерий эквивалентности элементов. Нормальные подруппы. Факторгруппы.

Как и для всяких разбиений, с разбиением на смежные классы по подгруппе связано отношение эквивалентности. Два элемента эквивалентны тогда и только когда, когда они принадлежат одному и тому же смежному классу. В некоммутативном случае можно различать два таких отношения эквивалентности: для левых и для правых разбиений по подмножествуB:

xy  (z xzB &yzB)

xy  (z xBz &yBz)

Каждый смежный класс представляет собой в точности множество всех своих образующих элементов. Поэтому без потери общности можно записать

xy  xyB  yxB 

xy  xBy  yBx

Докажем, например, утверждение xy  xyB:

xy  (z xzB & yzB)  uB & vB & x=zu & y=zv 

uB & vB & x=zvv^-1u & y=zv  uB & vB & x=yv^-1u  xyB

Такие отношения эквивалентности интересны тем, что для проверки условия xy(илиxy) нет необходимости просматривать всё множество классов разбиения (A _^LBлибоA _^RB). Достаточно уметь выполнять операциюи обращение, а также определять условие принадлежности элемента подгруппе:

xy  y^-1xB  x^-1yB 

xy  xy^-1B  yx^-1B

Докажем, например, что xy  y^-1xB:

xy  x=yb & bB  y^-1x= y^-1yb & bB  y^-1x=b & bB  y^-1xB

Структурная схема для проверки условия xyможет выглядеть следующим образом:

Здесь представлены три блока: блок обращения, блок вычисления бинарной операции и блок опознавания принадлежности подмножеству. Все сигналы, кроме выхода блока опознавания реализуют представление элементов группы. Выход блока опознавания логический. У блока вычисления бинарной операции отмечены левый (Л) и правый (П) входы. Если все указанные процедуры легко реализуемые, для проверки попадания элемента в некоторый класс достаточно подать на другой вход схемы код любогопредставителя класса.

Процедура ещё проще, если левые и правые семейства разбиений совпадают. Подгруппу со свойством A _^LB=A _^RBназываютнормальной подгруппой. В коммутативной группе все подгруппы нормальные.

В случае если подгруппа нормальная, нет необходимости различать левые и правые формы разбиений на смежные классы. В этом случае просто пишут

A _^LB=A _^RB  = A _^LB= A _^RB и xy  xy  xy

Отношение «быть нормальной подгруппой» обычно обозначают B, ⊴A, .

Отношение для разбиения по нормальной подгруппе обладает свойством конгруэнции относительно бинарной операции. Это позволяет ввести алгебру смежных классов на множестве :

B, ⊴A, (xB)  (yB) = (xy)B

Левые и правые классы в этом случае не различаются.

Алгебра классов нормальной подгруппы является группой: B, ⊴A, , – группа. Нейтральным элементом при этом будет класс, образованный нейтральным элементомA, :eB=Be=B. Обратным каждому классу будет класс, образованный обратным любого элемента обращаемого класса: (xB)^‑1=(x^‑1B).

Алгебру классов , называютфакторгруппой.

Примером может служить алгебра сложения классов вычетов по некоторому модулю n. Рассматривая обычную алгебру сложенияцелыхчиселℤ, +как группу с нейтральным элементом 0 и обращением элементов как сменой знака целого числаx, рассмотрим множество чисел, кратныхn:M_n={xn | xℤ}.

Видно, что M_n, +⊴ℤ, +. Тогдаℤ/M_n, + = ℤ_n, +.