Бутылка Клейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эта версия страницы ожидает проверки и может отличаться от последней подтверждённой, проверенной 12 марта 2011.

Данная версия страницы не проверялась участниками с соответствующими правами. Вы можете прочитать последнюю стабильную версию, проверенную 12 марта 2011, однако она может значительно отличаться от текущей версии. Проверки требуют 6 правок.

Перейти к: навигация, поиск

Бутылка Клейна, погружённая в трёхмерное пространство.

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное многообразие). Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса и проективной плоскостью. Название, по одной версии, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). По другой версии, название обязано тому обстоятельству, что простейшее наглядное изображение данной поверхности в пространстве напоминает по форме бутылку.

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки (для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве), присоединить к отверстию на дне бутылки.

В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (то есть на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Более формально бутылку Клейна можно получить склеиванием квадрата , идентифицируя точки (0,y) ~ (1,y) при и (x,0) ~ (1-x,1) при , как показано на диаграмме.