Методы Эйлера и Рунге-Кутта решения задачи Коши

Простейший метод решения задачи Коши – метод Эйлера. Формула метода Эйлера:

y(x_i+1) = y(x_i) + h·f(x_i,y(x_i)), или

y_i+1 = y_i + h·f(x_i,y_i) (5)

Лучший результат дают модификации этого метода –так называемые методы Рунге-Кутта второго порядка. Формула Рунге-Кутта второго порядка с коррекцией в средней точке имеет вид:

(6)

y^*_i+1/2 – вспомогательное значение (оно вычисляется раньше, чемy_i+1).

Другой метод Рунге-Кутта второго порядка – метод с коррекцией по средней производной. Формула для него имеет следующий вид.

(7)

y^*_i+1 – вспомогательное значение.

Еще точнее формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка:

(8)

В этих формулах сначала последовательно вычисляются k₁, k₂, k₃, k₄,а затем – y_i+1.

При использовании формул численного решения ДУ (5) – (8) возникают погрешности. Они не превосходят:

• const₁·h – для формулы (5),

• const₂·h² – для формулы (6),

• const₃·h² – для формулы (7),

• сonst₄·h⁴ – для формулы (8).

Постоянные const_1, const_2, const_3, const₄ зависят только от поведения решения исходной задачи Коши вблизи точного решения на участке[a,b]и не зависят от выбора шагаh. Как видно, при уменьшении шагаhвkраз, погрешность уменьшается вkраз для метода Эйлера–метод первого порядка, вk²раз для формул (6) и (7) – методы второго порядка и, соответственно, вk⁴ раз для (8) – метод четвертого порядка. Шагhнеобходимо выбирать достаточно малым, чтобы погрешность решения не превосходила заданной величины.

Пример решения задачи Коши методом Эйлера.

Возьмем шаг h = 0.1, имеем

y₀ = y(x₀) = y(1) = 3,

y₁ = y₀ + h·f(x₀,y₀) = 3 + 0.1(3 – 2·1) = 3.1 » y(1.1)

y₂= y₁ + h·f(x₁,y₁) = 3.1 + 0.1(3.1 – 2·1.1) = 3.19 » y(1.2)

y₃ = y₂ + h·f(x₂,y₂) = 3.19 + 0.1(3.19 – 2·1.2) = 3.269 » y(1.3)

и т.д., пока не достигнем заданной точки b.