Тема 19. Конечные области целостности и поля. Поля простого порядка.Элементы, кратные единице. Характеристика поля.Векторное представление элементов поля. Характеристика и размерность.

Поля простого порядка

Если p - простое число, то кольцо классов вычетов по модулю числа p будет областью целостности, так как 0<a,b<p a·bn·p.

Так как число классов вычетов конечно, то эта алгебра будет также и полем:

pP  Z/p -поле.

Конечные поля.

Характеристика поля

Число p = min m: ^m1=0 называется характеристикой поля (порядок элемента 1 по операции +).

Характеристика поля - простое число.

Доказательство:

Если характеристика поля p -составное, то p=p₁p₂, p₁,p₂<p   , что противоречит определению характеристики. Поэтомуp - простое число.

Такой же порядок по операции + имеют все элементы из A\{0}

Подполе простого порядка

В каждом конечном поле содержится подполе простого порядка.

Множество элементов {^k1|kN} образует подполе (замкнутость по + и , наличие элементов 0=^p1 и 1=¹1). Оно изоморфно Z/p:

Взаимно однозначное соответствие для k1..p-1

f(k)=^k1.

Сохранение операций:

f(x+y mod p)=f(x)+f(y)=^x1+^y1=^{x+y mod p}1

f(xy mod p)=f(x)f(y)=^x1 ^y1=^{xy mod p}1

Векторное представление элементов

Процедура получения представления элементов как линейной комбинации "базисных" элементов с "коэффициентами" - элементами подполя.

<A,+,> - конечное поле, <B,+,> - некоторое подполе (обычно <{^k1|kN},+,>, так как эта алгебра всегда будет подполем).

Шаг 1. Взять любой элемент x₁ из A\{0}. Построить множество А₁={a₁x₁|a₁B}.

Если А₁=A (и =B) то построение закончено - поле имело простой порядок - x₁ будет базисным элементом. Иначе перейти к шагу 2.

Шаг 2. Взять любой элемент x₂ из A\A₁. Построить множество A₂={a₁x₁+a₂x₂|a₁,a₂B}. A_1A₂, x_2A₁ x_2A₂, так что число элементов может только увеличиться. Если A₂=A, то построение закончится на этом шаге, x₁,x₂-базисные вектора. Иначе аналогично поступают с A\A₂.

В результате на некотором шаге m из-за исчерпания элементов в конечном множестве A будет получено следующее представление:

A=A_m={a₁x₁+a₂x₂+…+a_mx_m|a_iB}

Такое представление элементов обладает свойством

Каждый элемент представим в виде a₁x₁+a₂x₂+…+a_mx_m единственным образом (при фиксированных выбранных по описанной процедуре базисных элементах x₁, x₂…x_m).