Метод четвёртый: Метод кругов Эйлера-Венна

Задачи, которые можно решить с помощью кругов Эйлера нельзя решить иначе, по сравнению с табличным методом или при помощи графов. Этот способ решать задачи придумал в XVIII в. великий Леонард Эйлер.

Метод диаграмм Эйлера-Венна позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств. Этот метод прост, если в нем разобраться.

Диаграммы Эйлера-Венна могу быть построены по-разному.

Рассмотрим три простейших случая.

а) Дано некоторое множество и указано свойство ^ Х. Очевидно, элементы данного множества могут обладать или не обладать свойством Х. Поэтому данное множество распадается на две части: А - множество элементов, обладающих свойством Х; В   множество элементов, не обладающих свойством Х. 

б) Дано некоторое множество и указаны два свойства: Х и У. Так как элементы данного множества могут обладать или не обладать каждым из этих свойств, то возможны четыре случая:

^ А - элементы обладают Х и У; В - элементы обладают Х и не обладают У; С - элементы не обладают Х и не обладают У; D - элементы не обладают Х и обладают У. в) Дано некоторое множество и указаны три свойства: X, Y и Z. В этом случае данное множество распадается на восемь частей.

Если будет указано пять свойств, то множество распадется на 32 части, диаграммы станут еще более сложными.

Итак, с увеличением свойств число частей каждый раз увеличивается. Некоторые части могут оказаться пустыми: в них не попадет ни один элемент множества.

Задача 4. Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции,10-в Италии,6-в Англии; в Англии и Италии-5; в Англии и Франции -6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Решение. Нам известно, что во всех трех странах было 5 сотрудников. В Англии и Италии тоже 5, значит эти же сотрудники были и во Франции и поэтому в пересечении кругов А и И ставим 0. В Франции и Италии нам неизвестно поэтому пишем х-5 в пересечении кругов А и Ф. Т.к. в Англии было 6 человек, то 6-5-1=0 пишем 0,во Франции 16-х+5-6 и Италии 10-х+5-5 и всего в фирме 19 сотрудников, то остается составить и решить уравнение: 1+16-х+5-6+5+х-5+10-х+5-5=19, отсюда х=7, значит в Италии и Франции побывало 7-5=2 сотрудника фирмы.