Метод второй: Алгебраический метод

Схема решения логических задач:

1. Изучается условие задачи.

2. Вводится система обозначений.

3. Составляется логическая формула.

4. Определяется значения логической формулы.

Так, например, при применении алгебраического метода наиболее трудным является перевод текста задачи на язык формул. Далее, если вы знаете, логические законы и правила упрощения выражений, решение задачи сводится к формальным преобразованиям и приводит сразу к ответу, который остается лишь расшифровать, исходя из принятых вами обозначений.

Для того чтобы решать задачи этим методом, надо знать не только основные логические законы, но и уметь их применять, а также правильно составлять тождественно истинные высказывания.

Задача 2. В одной стране жили рыцари, которые всегда говорили правду, только правду и ничего кроме правды, и лжецы, которые всегда лгали. Однажды в страну проник шпион по имени Мердок, который, как и всякий шпион, иногда говорил правду, иногда лгал, в зависимости от того, что ему было выгодно. Шпион поселился с двумя жителями страны - рыцарем и лжецом. Всех троих арестовали в один день и привели на допрос. Никто не знал, кто из них кто. Они сделали следующие заявления:

А сказал: Я - ^ Мердок.

В сказал: А говорит правду.

С сказал: Я не Мердок.

Кто же из них шпион - А, В или С ?

Решение. Введем следующие переменные: Пусть А_ш =А-шпион, тогда ¯A_ш =А - не шпион. Пусть В_ш =В-шпион, тогда ¯B_ш = В- не шпион. Пусть C_ш =С-шпион, тогда ¯C_ш = C- не шпион. В наших обозначениях высказывания А, В, С записываются так: А= А_ш ;В= А_ш ;С=¯C_ш .

По условиям задачи ясно, что из трёх высказываний истинным может быть либо одно (если шпион лжет), либо два ( если шпион говорит правду). Следовательно, возможны следующие варианты распределения истинных (И) и ложных (Л) высказываний:

ИИЛ V ИЛИ V ЛИИ V ЛЛИ V ЛИЛ V ИЛЛ=1.(*)

Посмотрим, что означает ИИЛ для введенных нами обозначений.

Высказывание пленника А истинно, следовательно, А_ш =1; высказывание пленника В истинно, следовательно, А_ш =1; высказывание пленника С ложно, следовательно, С_ш=1. То есть А_ш &А_ш &С_ш =1. Но А и С не могут одновременно быть шпионами, следовательно, это неверно и данная конъюнкция ложна.

Аналогично вариант ИЛИ "переводится" в наши обозначения так:

А_ш &¯А_ш &¯С_ш =1. Эта конъюнкция тоже ложна, поскольку А не может одновременно быть шпионом и не быть им.

Интерпретируем полностью формулу (*), опуская для кратности знак конъюнкции: А_ш А_ш С_ш U А_ш ¯А_ш ¯C_ш U ¯А_ш А_ш ¯C_ш U ¯А_ш ¯А_ш ¯C_ш U ¯А_ш А_ш C_ш U А_ш ¯А_ш C_ш = 0 U 0 U 0 U ¯А_ш ¯C_ш U 0 U 0= ¯А_ш ¯C_ш =1.

То есть ни А ни С не шпионы, следовательно, шпион v В. далее уже просто сделать вывод, что А - лжец, С - рыцарь.