§5. Двойственная задача

Ранее мы рассмотрели конкретную линейную производственную задачу по выпуску четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов по заданным технологиям.

Теперь представим себе, что возникла новая ситуация. Знакомый предприниматель П (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, у₂ руб – второго, у₃ руб – третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у₁, у₂, у₃ мы можем согласиться с предложением П.

Величины у₁, у₂, у₃ принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Напомним, что в нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имели вид

Для производства единицы продукции первого вида мы должны затратить, как видно из матрицы А, 4 единицы ресурса первого вида, 2 единицы ресурса второго вида и 3 единицы третьего (элементы первого столбца матрицы). В ценах у₁, у₂, у₃ наши затраты составят 4у₁ + 2у₂ + 3у₃, т.е. столько заплатит предприниматель П за все ресурсы, идущие на производство единицы первой продукции. На рынке за единицу первой продукции мы получили бы прибыль 36 руб. Следовательно, мы можем согласиться с предложением П только в том случае, если он заплатит не меньше 4у₁ + 2у₂ + 3у₃  36.

Аналогично, во втором столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции второго вида. В ценах П эти затраты составят 3у₁ + 5у₂ + у₃, а на рынке за единицу продукции второго вида мы получили бы прибыль 14 рублей. Поэтому перед предпринимателем П мы ставим условие 3у₁ + 5у₂ + у₃  14 и т.д. по всем видам продукции.

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 208у₁ + 107у₂ + 181у₃ рублей. При поставленных нами условиях предприниматель П будет искать такие значения величин у₁, у₂, у₃, чтобы эта сумма была как можно меньше. Подчеркнем, что здесь речь идет не о ценах, по которым мы когда-то приобретали эти ресурсы, а об этих ценах, которые существенно зависят от применяемых нами технологий, объемов ресурсов и от ситуации на рынке.

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок у(у₁, y₂, y₃) минимизирующий общую оценку всех ресурсов f = 208y₁ + 107y₂ +181y₃ (1)

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции 4y₁ + 2y₂ + 3y₃  36

3y₁ + 5y₂ + y₃  14

4y₁ + 2y₃  25 (2)

5y₁ + 2y₂ + 5y₃  50

причем оценки ресурсов не могут быть отрицательными y₁0, y₂0, y₃0. (3)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений (х₁, х₂, х₃, х₄) и (y₁, y₂, y₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий

x ₁ (4y₁ + 2y₂ + 3y₃ - 36) = 0 y₁ (4x₁ +3x₂ + 4x₃ + 5x₄ - 208) = 0

x ₂ (3y₁ + 5y₂ + y₃ - 14) = 0 y₂ (2x₁ +5x₂ + 2x₄ - 107) = 0

x ₃ (4y₁ + 2y₃ - 25) = 0 y₃ (3x₁ + x₂ + 2x₃ + 5x₄ - 181) = 0 .

x ₄(5y₁ + 2y₂ + 5y₃ - 50) = 0

Ранее было найдено, что в решении исходной задачи х₁>0, x₄>0. Поэтому

4y₁ + 2y₂ + 3y₃ - 36 = 0

5y₁ + 2y₂ + 5y₃ - 50 = 0

Если же учесть, что второй ресурс был избыточным и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у₂=0,

то приходим к системе уравнений

4y₁ + 3y₃ - 36 = 0

5y₁ + 5y₃ - 50 = 0

откуда следует у₁=6, у₃=4.

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у₁=6; у₂=0; у₃=4, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 1972.

Заметим, что решение (4) содержалось в последней строке последней симплексной таблицы исходной задачи. Важен экономический смысл двойственных оценок. Например, двойственная оценка третьего ресурса у₃=4 показывает, что добавление одной единицы третьего ресурса обеспечит прирост прибыли в 4 единицы.