Булевы алгебры

def. Алгебра типа (2,2,1,0,0) называется булевой алгеброй, если выполняются следующие условия (аксиомы):

А1. Существуют нейтральные элементы относительно бинарных операций соответственно, т.е.

,

.

А2. Операции ассоциативны, т.е.

,

.

A3. Операции коммутативны, т.е.

, .

А4. Операции дистрибутивны относительно друг друга, т.е.

,

A5. , .

Замечание. Аксиома А5 может побудить к ошибочному заключению о том, что является симметричным элементом к , однако это не так. Если бы был симметричным элементом к , то и

def. Результат операции называется суммой, а сама операция – сложением

Результат операции называется произведением, а операция – умножением.

Результат операции и сама операция называется дополнением.

Разные авторы в литературе операции умножения и сложения обозначаются по-разному:

def. Для любого выражения булевой алгебры определяется дуализм (двойственное выражение), как выражение, полученное из исходного, заменой на *, * на ,

на , на .

Каждая из аксиом булевой алгебры - эта пара аксиом. Внутри каждой пары, каждая аксиома является дуализмом по отношению к другой.