Решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

Рассмотрим задачу Коши для ДУ второго порядка

Решение будем искать на интервале . Сведем это уравнение к системе ДУ первого порядка, состоящей из двух уравнений.

Рассмотрим, как решить эту задачу с использованием функции rkfixed. Функцию определим как вектор с двумя элементами

Пример

Решение ищем на отрезке [1,4].

Сначала найдем аналитическое решение задачи Коши для этого примера:

.

Разрешим данное ДУ относительно второй производной . Запишем функцию : . Воспользуемся функцией пакета rkfixed.

Сплошная линия – интегральная кривая, а вторая кривая – график первой производной.

В таблице в первом столбце выведена переменная x, во втором столбце – искомая функция, а в третьем –­ первая производная искомой функции.

Полученное решение можно сравнить с аналитическим решением, найденным выше.

В отчет надо включить таблицу с результатами аналитического и численного решения и сравнить их.

Для ДУ более высокого порядка будем использовать тот же метод, что и для ДУ второго порядка. Тогда вектор начальных условий и функция будут содержать элементов.

Задание

1. Найти аналитическое решение задачи Коши.

2. Решить задачу Коши, используя функции rkfixed или Rkadapt или Bulstoer.

3. Построить интегральную кривую и график первой производной, вывести таблицы полученных результатов и сравнить их (вывести таблицу разностей).

Отчет оформить как файл пакета MathCad.

Варианты задания для этой работы взять в работе №3.

Опишем возможности пакета MathCad для решения жестких систем дифференциальных уравнений.