2.1. Основні поняття та формули

В алгебрі вивчаються дії з числовими та буквеними величинами, а також розв’язання рівнянь, пов’язаних із цими діями. При цьому буквеним величинам можуть надаватися конкретні числові значення.

Одночленом називається добуток кількох співмножників, що є числами або буквами.

Окремі числа і букви також вважаються одночленами. Наприклад, 2bху, –3х²z⁵, 6, у — одночлени.

Многочленом називається сума одночленів. Наприклад, 2bху + + 7х² + 3 — многочлен.

Основу всіх алгебраїчних дій становлять такі закони додавання і множення:

Переставний закон:

а + b = b + а, аb = bа.

Сполучний закон:

(а + b) + c = а + (b + с), (аb)c = а(bс).

Розподільний закон:

(а + b)c = аc + bс.

При виконанні перетворень алгебраїчних виразів використовуються такі підходи:

1. Зведення подібних членів. Якщо кілька доданків мають однакові буквені частини, то їхні числові коефіцієнти додаються, а буквена частина зберігається. Наприклад, 9а²b – 3а²b – 4а²b = (9 – – 3 – 4)a²b = 2a²b.

2. Винесення множника за дужки здійснюється на основі розподільного закону і правил дій зі степенями. Наприклад, 4ax²y + + 3а²bху² – 2abx² = ax(4xy + 3aby² – 2bx²).

3. Розкриття дужок також здійснюється за допомогою розподільного закону. Необхідно пам’ятати, якщо множник перед дужками має від’ємний знак, то при їхньому розкритті змінюються знаки всіх доданків. Приклади:

2mn²(mx – 3уn³ + 5) = 2m²n²x – 6mn⁵у + 10mn²;

–ab(3a – 2b + 4) = –3a²b + 2ab² – 4ab.

4. Формули скороченого множення:

(а + b)² = а² + 2аb + b²,

(а – b)² = а² – 2аb + b²,

(а – b)(а + b) = а² – b²,

(а + b)³ = а³ + 3a²b + 3аb² + b³,

(а – b)³ = а³ – 3а²b + 3аb² – b³,

(а + b)(а² – ab + b²) = а³ + b³,

(а – b)(а² + ab + b²) = а³ – b³.