Доказательство теоремы о взаимности работ
Наметим на балке две точки 1 и 2 (рис. 15.4, а).
Приложим статически в точке 1 силу . Она вызовет в этой точке прогиб , а в точке 2 – .
Для обозначения перемещений мы используем два индекса. Первый индекс означает место перемещения, а второй – причину, вызывающую это перемещение. То есть, почти как на конверте письма, где мы указываем: куда и от кого.
Так, например, означает прогиб балки в точке 2 от нагрузки .
После того, как закончен рост силы . приложим в точке 2 к деформированному состоянию балки статическую силу (15.4, б). Балка получит дополнительные прогибы: в точке 1 и в точке 2.
Составим выражение для работы, которую совершают эти силы на соответствующих им перемещениях: .
Здесь первое и третье слагаемые представляют собой упругие работы сил и . Согласно теореме Клапейрона, они имеют коэффициент . У второго слагаемого этого коэффициента нет, поскольку сила своего значения не изменяет и совершает возможную работу на перемещении , вызванном другой силой .
Изменим теперь порядок нагружения балки. Сначала прикладываем к балке силу , а затем (рис. 15.4, в, г).
Тогда работа .
Очевидно, что . Из этого равенства следует теорема Бетти: .
Заметим, что теорема Бетти о взаимности работ справедлива как для случая внешних, так и для случая внутренних сил.
-
Содержание
- Реальная конструкция и расчетная схема. Внешние и внутренние силы. Метод сечений
- Например:
- Основные гипотезы и принципы сопротивления материалов
- Плоский изгиб. Деформации и нормальные напряжения при чистом изгибе.
- Плоский изгиб. Касательные напряжения при изгибе.
- Оценка прочности балок при изгибе.
- Рациональная форма поперечных сечений балок при изгибе.
- Балки равного сопротивления (Балка равнопрочная)
- Дифференциальное уравнение упругой линии балки при изгибе.
- Применение метода начальных параметров к расчету балок.
- Напряженно-деформированное состояние (виды ндс и их особенности)
- Главные площадки и главные напряжения.
- Метод Мора – графический метод определения напряжений.
- Обобщенный закон Гука.
- Теории предельных состояний (основные понятия и диаграммы предельных напряжений для хрупких и пластичных материалов).
- Первая теория предельного состояния. Гипотеза наибольших нормальных напряжений.
- Вторая теория предельного состояния. Гипотеза наибольших линейных деформаций.
- Третья теория предельного состояния – теория наибольших касательных напряжений.
- Доказательство теоремы клапейрона
- Теорема о взаимности работ (теорема Бетти).
- Доказательство теоремы о взаимности работ
- Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла).
- Теорема Кастильяно (об определении перемещения точки приложения силы).
- Определение перемещений методом Мора.
- Способ Верещагина (способ перемножения эпюр).
- Метод сил: определение степени статической неопределимости системы.
- Выбор основной системы по методу сил при расчете статически неопределимой стержневой системы.
- Метод сил для расчета статически неопределимой стержневой системы (порядок расчета и проверки).