1.2. Математическая модель линейной производственной задачи

а) Обозначим через вектор Х, все компоненты которого являются неизвестными, искомый план производства (искомое количество каждого вида продукции, которое планируем производить):

,

где x1, x2, x3, x4 - искомое количество 1-ого, 2-ого, 3-его и 4-ого видов продукции соответственно.

б) Запишем условие ограниченности имеющихся ресурсов в виде системы линейных алгебраических неравенств.

Поскольку запас каждого вида имеющихся ресурсов ограничен, то каков бы ни был искомый план производства (х1, х2, х3, х4), компоненты вектора Х должны удовлетворять следующему условию: общий расход каждого вида ресурса на производство всей продукции не должен превышать запас данного ресурса.

Выразим данное условие математически.

Технологическая матрица затрат А показывает, какое количество ресурсов требуется для производства 1 единицы продукции. Каждому виду продукции соответствует столбец в технологической матрице затрат А. Каждая строка матрицы А соответствует одному из видов ресурсов. Чтобы получить расход каждого ресурса при заданной производственной программе перемножим матрицу А и вектор производственной программы X:

Общий расход первого вида ресурса: 3х1 + 3х3 + 3х4

Общий расход второго вида ресурса: 2х1 + 3х2 + х3 + х4

Общий расход третьего вида ресурса: 4х1 + 3х2 + 2х3 + 2х4

Запасы имеющихся ресурсов соответствуют значениям компонент вектора объемов ресурсов В:

Запас первого вида ресурса: 186

Запас второго вида ресурса: 102

Запас третьего вида ресурса: 196

Таким образом, условие о том, что общий расход каждого вида ресурса на производство всей продукции не должен превышать запас данного ресурса, можно представить в виде системы неравенств:

3х1 + 3х3 + 3х4 ≤ 186

2х1 + 3х2 + х3 + х4 ≤ 102

4х1 + 3х2 + 2х3 + 2х4 ≤ 196

в) Поскольку применение искомого плана производства по условиям сформулированной линейной производственной задачи должно обеспечить получение максимальной прибыли, выразим совокупную прибыль от реализации всей произведенной продукции.

Вектор С указывает на прибыль от продажи 1 единицы продукции каждого вида. Каждая компонента вектора соответствует одному из четырех видов продукции. Чтобы найти прибыль от реализации всей производимой продукции, следует помножить вектор производственной программы X на вектор удельной прибыли С:

Полученное произведение двух векторов представляет собой не что иное, как совокупную прибыль от реализации всей продукции при заданном векторе производственной программы X.

Так как x₁, x₂, x₃, x₄ – неизвестные, запишем полученное выражение в виде функции:

Z = 38x₁ + 12x₂ + 28x₃ + 21x₄

Для достижения максимальной прибыли требуется найти максимум полученной функции Z:

Z = 38x₁ + 12x₂ + 28x₃ + 21x₄ → max

г) Так как компоненты (x1, x2, x3, x4) вектора производственной программы Х суть искомое количество каждого вида продукции, которое планируем производить, они не могут быть выражены отрицательными числами:

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0

Получили следующую математическую модель линейной производственной задачи:

Найти производственную программу Х (х1, х2, х3, х4),

максимизирующую прибыль Z = 38x₁ + 12x₂ + 28x₃ + 21x₄ → max,

при условии ограниченности

имеющихся ресурсов 3х1 + 3х3 + 3х4 ≤ 186

2х1 + 3х2 + х3 + х4 ≤ 102

4х1 + 3х2 + 2х3 + 2х4 ≤ 196

где по смыслу задачи х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0

Преобразуем полученную модель линейной производственной задачи к основному (предпочитаемому) виду задачи линейного программирования

Систему неравенств, через которую выражено условие ограниченности имеющихся ресурсов, заменим системой линейных алгебраических уравнений посредством дополнительных неотрицательных неизвестных х₅, х₆, х₇ , которые имеют экономический смысл остатков 1-го, 2-го и 3-го видов ресурсов соответственно.

Математическая модель линейной производственной задачи примет вид:

Z = 38x₁ + 12x₂ + 28x₃ + 21x₄ → max,

3х1 + 3х3 + 3х4 + х5 = 186

2х1 + 3х2 + х3 + х4 + х6 = 102

4х1 + 3х2 + 2х3 + 2х4 + х7 = 196

х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7 ≥ 0

Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условию неотрицательности х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, необходимо найти то решение, при котором целевая функция Z примет наибольшее значение.