1. Математическая логика

Математическая логика – раздел математики, изучающий математические доказательства и вопросы обоснования математики. История математической логики идет от древних цивилизаций – древнегреческой, древнеиндийской, древнекитайской - каждая из них внесла свой особый вклад в развитие этой науки.

Так, в Китае наиболее развитым оказался раздел о системах и базисах булевых функций, но он не имел практического применения на тот период времени и стал развиваться только в эпоху компьютеров, когда возникла необходимость в определении элементной базы для создания логических устройств компьютера. В Индии и Греции получил наибольшее развитие раздел исчисления высказываний благодаря использованию логики в судебной практике. Множество существовавших когда-то научных школ оказались тупиковыми в силу того, что избранное ими направление не могло быть востребовано практикой, не имело прикладного значения на тот период времени.

По существу возврат к математической логике произошел в конце 18 – 19 веках нашего времени, когда проблемы математики потребовали для своего решения достаточно специфические приемы, отсутствовавшие тогда в ее арсенале. Например, открытие рядов повлекло за собой исследования в теории множеств, изучение законов математических доказательств – к исследованиям исчислений высказываний и предикатов.

Принято считать, что наибольший вклад в формирование современной математической логики как науки внес английский математик Джордж Буль (1815-1864), который решал задачу «алгебраизации логики». Природа математики, любого математического исчисления им понималась, как «метода, базирующегося на употреблении символов, законы, комбинации которых нам известны», где результат математического анализа «зависит не от истолкования символов, а исключительно от законов их комбинации».

Если философское понимание логики, как теории искусства рассуждения, целью которой является систематизация принципов правильного рассуждения и средством - изучение мышления как способа познания объективного мира, «тех его форм и законов, в которых происходит отражение мира в процессе мышления», то в математическом смысле она рассматривается более узко. [Гетманова].

Основная задача математической логики – формализация знаний и рассуждений. Наиболее легко формализуемые знания – математические и потому математическая логика – наука о математике, или метаматематика. Центральным понятием математической логики является «математическое доказательство». Действительно, «доказательные» (иначе говоря, дедуктивные) рассуждения – единственный вид признаваемых в математике рассуждений. Рассуждения в математической логике изучаются с точки зрения формы, а не смысла. По-существу, рассуждения моделируются чисто «механическим» процессом переписывания текста (формул). Такой процесс называют выводом. Говорят еще, что математическая логика оперирует только синтаксическими понятиями.

Однако если бывает нужно соотнести рассуждения с действительностью или представлениями о ней, то есть определить смысл формул и их вывода, то используют термин семантика (синоним слова «смысл») и чётко разделяют синтаксис и семантику.

Когда же действительно исследуют только форму (синтаксис), используют термины «формальная система», «исчисление формальных грамматик», «формальная теория» или «аксиоматика».

Объектом формальных систем являются последовательности символов, с помощью которых записываются формулы.

Научная теория, изучающая свойства знаковых систем, т.е. систем конкретных или абстрактных объектов, каждому из которых соответствует некоторое значение, называется семиотикой.

Знаковыми системами являются естественные и искусственные языки, системы сигнализации, системы состояний входных и выходных сигналов и т.п.

Самым первым и наиболее простым для понимания разделом математической логики является булева алгебра, лежащая в основе всех дальнейших построений математической логики. Рассмотрим булеву алгебру в двузначной логике.