Континуум
Следующую по важности и по глубине проникновения попытку осмысления понятия непрерывности и понятия числа предприняли средневековые мыслители. В работах Николая Кузанского появилась актуальная бесконечность как символ и воплощение бесконечного Бога. Он проводит замечательное рассуждение, математическая суть которого видна с первого взгляда. Он берет окружность как идеальную фигуру, не имеющую ни конца, ни начала, одинаковую во всех своих частях, имея в виду, конечно, воплощение божественной сути, и, устремляя радиус этой окружности к бесконечности, видит, что результатом будет прямая — актуально бесконечная прямая! Трудности, связанные с бесконечностью и незавершимостью этого процесса, он относит к божественному всемогуществу. Можно сказать, что это уже понятие бесконечного пространства как целого, единство и целостность которого обеспечиваются божественной волей.
Вряд ли большое значение и распространение получили бы эти идеи, не будь на повестке дня изучение понятия движения как математического или механического явления. Главнейшим примером континуума, появившимся в естествознании, был временной континуум. Время как бесконечно длящаяся и бесконечно делимая, одинаковая в каждой своей точке величина просто потребовало осмысления понятия предельного перехода и понятия числа. Опыты Галилея, как проводимые с помощью наклонной плоскости, так и его мысленные опыты, перевели схоластические споры о сущности континуума в экспериментальные. Мы после Галилея начали делить путь, пройденный шариком по наклонной плоскости, на сколь угодно малые части и поступать точно так же и со временем.
Отождествление числовой системы и геометрической прямой, которое в нашем сознании неразрывно связано в понятии числовая прямая, было важнейшим вкладом Декарта. Дело в том, что геометрические задачи получили возможность выражаться и решаться в виде уравнений. Это ставило на повестку дня вопрос об актуальной бесконечности системы вещественных чисел.
Перед Ньютоном уже были объекты, которые нужно было систематизировать и привести к одному понятию. Это - Движение, которое осуществляется в бесконечном Пространстве и таком же Времени (заметим, в актуально бесконечном).
Конечно, вся механика не была бы возможна без понятия мгновенной скорости, которая определяется Ньютоном как «последнее отношение» - предел в нашей современной терминологии. Однако само понятие «последнее отношение» темно в понимании Ньютона: неявно при определении движения приходилось использовать движение, а именно, стремление отрезка времени к нулю или понятие бесконечно малого отрезка времени. Таким образом, смело вводя понятие актуально бесконечного пространства и времени, охватываемш и божественным разумом или чувством (Sensorium Dei - чувствилище Бога), Ньютон ввел понятие актуальной бесконечности в науку.
Конечно, для понимания физического пространства-времени то, что сделал Ньютон, переоценить невозможно, однако в математическом анализе победила точка зрения континентальных мыслителей. Важнейшим в этой связи было понятие у Лейбница бесконечно малой величины как вещи в себе - монады, в которой возможно заключена первичная неделимая частица вещей. Лейбниц, возможно, хотел выделить фундаментальность этого понятия как идеи, на которой можно построить здание математического анализа.
Неудовлетворительность обращения к интуитивно обосновываемым понятиям типа бесконечно малой величины, которая является и ненулевым числом и в то же время числом, меньшим любого другого (т. е. для этих чисел не выполняется аксиома Архимеда), была осознана в начале XIX века. Коти, казалось бы, сумел устранить понятие движения из первичных понятий предела последовательности и функции. Этим достижением, правда в современной трактовке, по сегодняшний день горделиво пестуют новые поколения математиков на курсах математического анализа.
Язык е 5 заменил понятие движения, содержащееся в бесконечно малой величине, на понятие функционального соответствия между е и S. Т. е. вместо одной актуальной бесконечности получается две, да еще и функциональная зависимость между ними.
Вообще весь период развития математического анализа вплоть до конца XIX века можно назвать периодом функционального мышления, понятие функции, как соответствия между двумя множествами, причинами и следствиями, пронизало вообще все мышление того времени. Рационализм века Возрождения понуждал искать причинно-следственную связь в явлениях окружающего мира, и это приводило к новым и новым функциям - соответствиям между двумя актуально бесконечными множествами.
Принцип математической индукции как рзссуждени1? с 6?скг>нрч-ным количеством утверждений был одной из критических точек осмысления роли двух бесконечностей. Принцип этот состоит в следующей цепочке утверждений:
Пусть верно А(1);
Из верного А(к) следует А(к+1);
тогда верны все утверждения для любого к. Здесь, производя последовательные шаги от первого утверждения до бесконечности, мы имеем дело с потенциальной бесконечностью. Но как только мы утверждаем для любого к, мы говорим об актуальной бесконечности.
Критическим моментом было появление новых математических объектов, которые иногда назывались математическими «монстрами». Это примеры нигде не дифференцируемых функций, функций разрывных в каждой точке, множеств, сам процесс построения которых вызывал сомнения, что же говорить о результате этого процесса. Самый знаменитый пример - это канторово множество, получаемое последовательным удалением средней трети сначала из единичного отрезка, потом из двух оставшихся отрезков и т. д. на n-м шаге из 2" отрезков 2" средних третей. Получающееся в результате бесконечного числа удалений, всюду разрывное, нигде не плотное множество
Б
называется канторовым множеством (рис. 3).
ольшим сюрпризом для математики XIX века стало понимание того, что все тело математического анализа насквозь пронизано аксиомой выбора. Аксиома выбора утверждает, что из любой совокупности множеств (особенно интересно, когда их бесконечно много) можно осуществить выбор ровно по одному элементу. Такой выбор осуществляется, когда выбирается последовательность хп, по одному члену из каждого множества А„ или отрезка [ап;Ьп]. Это происходит, например, при доказательстве того, что непрерывная функция достигает максимума на отрезке.
Стало ясно, что спасением для понимания, что такое чисто, мп-жет стать аксиоматический метод, когда система постулатов-аксиом задает естественные и непреложные правила, по которым функционирует система вещественных чисел. Наиболее важной и существенной в рамках нашего вопроса является аксиома полноты системы вещественных чисел. Формулировка этой аксиомы в виде аксиомы о сечении Дедекинда является, может, не самой простой, но наиболее выпукло проясняющей суть дела и проявляющей стиль, победивший в воззрениях на анализ.
Аксиома Дедекинда. Если осуществить разбиение системы действительных чисел на два непустых подмножества так, чтобы каждый элемент одного подмножества был больше каждого элемента другого, то в силу полноты системы вещественных чисел отыщется точка, осуществляющая это сечение или разделяющая эти два подмножества. Критический взгляд на суть предлагаемого подхода проясняет, что понятие актуальной бесконечности находится в понятии разбиения прямой на два актуально бесконечных подмножества.
Вообще, в обиходном стихийном сознании оснований современной математики как интуитивной теории множеств на самом начальном этапе рассматриваются актуально бесконечные множества. Как будто перед нами есть какая-то возможность предъявить все элементы такого множества или устроить проверку над бесконечным количеством элементов на принадлежность множеству. Хотя со времен древнегреческой математики пройден путь гигантского масштаба и мы бодро и храбро беремся за бесконечные множества, проблема далека от своего разрешения.