О психологии математического мышления, знаки
Одно из самых досадных заблуждений взгляда «постороннего» на природу математического мышления и открытия состоит в том, что математики мыслят сухими точными символами и в математике нет творчества. Одна из замечательных попыток понять механизмы, лежащие в основе математического и не только математического творчества, предпринял Ж. Адамар. Эта работа касается не только того вида, в котором в голове у математиков существуют их идеи, по и содержит взгляд на природу подсознательных процессов, без которых математическое открытие невозможно. Здесь мы приведем кратко основные положения.
Во-первых, ни один человек, несмотря на уверения некоторых исследователей, не мыслит словами, а напротив, только окончательный вид мыслям придается в словесной форме («Мысль изреченная есть ложь», - Ф. Тютчев). Точно так же в математике точное и, может быть, проверочное состояние математическим идеям придает их выражение в формальной форме.
Во-вторых, один из самых глубоких видов подсознания ответственен за наиболее значительные открытия. Здесь необходимо упомянуть случай Пуанкаре.' В процессе работы над автоморфнымн функциями он довольно долго и безуспешно пытался доказать, что таких функций не существует, потом вдруг обнаружил целый класс таких функций. (Автоморфпые функции - это функции, которые под действием некоторого преобразования не меняют своих значений, они подобны периодическим.) Далее по иным причинам работа была отложена - и вдруг, в неожиданный момент, он понял, что преобразования, оставляющие неизменными автоморфпые функции, должны быть сродни преобразованиям неевклидовой геометрии (см. выше). В полной уверенности, что это так, через некоторое время Пуанкаре проверил эту догадку точными выкладками, что оказалось весьма непросто. Можно отметить следующие моменты, первоначальный период тяжелой сознательной работы был продолжен в «бессознательном», из которого затем в готовом ярком целостном виде появилось решение в виде озарения.
Таким образом, можно пометить следующую схему' сначала нужна тяжелая предварительная работа, в процессе которой всевозможные пути и идеи приведены в движение - «атомы-крючочки Эпикура» снимаются с неподвижного состояния и роятся с целью образовать самые немыслимые сочетания. Основной девиз в это время: * Думай около». Далее следует период некоторого забвения-отдыха. И наконец - озаренин. Озарение - это в целостном образном виде решение проблемы. Далее следует период проверки и записи результатов, для того чтобы впоследствии было возможно воспользоваться этими результатами. Весь этот цикл, от тяжелой первоначальной работы до более или менее законченного вида результата, Адамар называет «результат-эстафета».
Два взаимосвязанных момента нам необходимо здесь отметить
то, как «бессознательное» из множества бесплодных идей выбирает перспективные:
и знаково-образная форма мышления.
«Бессознательное» имеет дело со знаками-образами и выбирает на основе развитого чувства красоты и изящества. Развитие глубокого чувства прекрасного в математике и есть способ развить в себе способности к творческому мышлению. Для этого нужна, конечно же, разветвленная система математических образов-знаков. К сожалению, этому невозможно обучиться, разбирая последовательные цепочки математических енллогпзмоп и символов в доказательстве теорем. Научиться имлеть теорему как целое (как совокупность всех идей и взаимосвязей) - вот что необходимо.
Для примера приведем замечательный знак-образ доказательсг-нн теоремы Кнклидно бесконечности простых чисел (Аламяр). Решето Эрагосфена - способ нахождения простых чисел сое i опт в иосле-дователыюм вычеркивании каждого второго, затем каждого третьего и т. д. числа из ряда всех целых чисел, в результате останутся только простые числа. Предположим, что множество простых чисел конечно, тогда, вычеркнув все кратные им (простым) (образ изгороди, кратной всем этим числам), найдем вблизи от кратного всем простым числам число (это число - N!), следующее - N! + 1, и между ними невозможно вписать ни одну кратную простому числу изгородь, значит, это число (N! + 1) - простое (рис. 17).
, В заключение отметим, что решить самостоятельно трудную задачу стоит гораздо дороже, нежели прорешать по известным правилам множество задачников. Поэтому образование - это процесс, который мы должны производить над самими собой и по возможности самое 1 иитилыш.
ЛИТЕРАТУРА
!. Клайи .VI. Математика. Поиск истины. М.: Мир. 1У88.
Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир. 1984.
Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.
Адамзр Ж. Исследование психологии процесса изобретения п области математики. М.: Советское радио. 1970.
о. Успенский В.А. Нестандартный или пеархимедов анализ. М.: Знание. 1980.
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX веке. М.:Л.: Гостехнздат. 1937.
Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неев-
..•,....„„,, \л . и—..— 1ПЯП
ri.ii'iMUUCi I ^v/:vtf. 1 |Ji In . I in v no, LZfyJxf.
Мартин H.. Ниглепд Дж. Математическая теория энтропии. М.: Мир. 1988.
Пригпжин И. От существующего к возникающему. М.: Наука. J 985.
Нпколнс Г.. Прнгожин И. Познание сложного. М.: Мир. 1990.
Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.
Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии. М.: Наука. 19Н7.
Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука. 1У7о.
Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука. 1976.
Содержание
Противоречивость в понятии числа натурального
и вещественного 3
Континуум 6
3- Проблемы аксиоматического подхода к основаниям
математики 10
Д. Гильберт и формалистический подход 13
Постулат о параллельных и различные виды
геометрии ■ 17
Группы и их приложения 21
Лагранжев формализм и вариационные принципы механики 25
Нелинейные уравнения 27
Теория вероятностей 30
Энтропия 35
О психологии математического мышления, знаки 38
Литература 41