Лабораторна робота 2. Розв’язування систем лінійних рівнянь у системі matlab

1.  Набрати у системі MATLAB та відлагодити текст програми порівняльного розв’язування СЛАР.

2.  Дослідити залежності похибок розв’язку від порядку СЛАР для малих (n≤12) та великих (n≤40) систем (рис. 5).

3.  Дослідити залежності похибок від розміру СЛАР з прямокутними матрицями для малих та великих систем (рис. 6).

4.  Визначити, який метод розв’язування (LU чи QR) в кожному випадку обирає MATLAB самостійно, коли розв’язує СЛАР за операцією \.

5.  Пояснити всі оператори MATLAB-програми.

Контрольні завдання до розділу 2

1. Поясніть графічне зображення розв’язування СЛАР другого порядку.

2. В чому полягають переваги та недоліки метода Гаусса порівняно з іншими методами розв’язування СЛАР?

3. Поясніть графічне зображення розв’язування системи трьох лінійних рівнянь з двома невідомими.

4. Опишіть метод найменших квадратів.

Розділ 3. Поліноміальна інтерполяція та апроксимація

Задача інтерполяції (від латинського interpolatio – відновлення) виникає, коли задану функцію дискретного аргумента треба замінити неперервною функцією. Ще одне практично важливе застосування інтерполяції – коли замість багатократного громізкого обчислення складної функції обраховують простішу інтерполюючу функцію, побудовану за дискретними значеннями.

Сформулюємо задачу поліноміальної інтерполяції.

Нехай в різних вузлах інтерполяції x_i, (i=1,…,n) задані значення дискретної функції f(x_i)=f_i, (i=1,…,n). Інтерполюючу функцію φ(х) шукаємо у формі полінома

, (3.1)

де задані функції φ_j(х) називають базисними.

Побудувати інтерполюючий поліном – це знайти коефіцієнти інтерполяції a_j, (j=1,…,n). Ці коефіцієнти знаходять з умов φ(x_i)=f_i, (i=1,…,n), розв’язуючи систему рівнянь, складених для кожного вузла інтерполяції:

(3.2)

У матричному записі система (3.2) має вигляд

ΦA=F, (3.3)

де:

СЛАР (3.3) має єдиний розв’язок, якщо detΦ≠0 (дивись розділ 2). Ця умова виконується, зокрема, коли базисні функції φ_j(х), (j=1,…,n) утворюють систему лінійно незалежних функцій, тобто жодна з них не є лінійною комбінацією інших.

Існує безліч систем лінійно незалежних функцій. Дуже часто використовують систему степеневих функцій 1, x, x², x³,…, x^n-1, тобто φ_j(х)=x ^j-1; (j=1,…,n). Тоді інтерполюючий поліном (3.1) є степеневим (дивись розд. 1), а матриця системи (3.3) є матрицею Вандермонда, яка є зразком погано обумовленої матриці.

В основі теорії поліноміальної інтерполяції лежить теорема знаменитого німецького математика Карла Вейерштраcса (Weierstrass). У другій половині 19-го сторіччя Вейерштрасc довів, що будь-яку неперервну функцію на відрізку можна як завгодно точно наблизити поліномом, якщо не обмежувати кількість його членів. Але теорема не вказує, як шукати це наближення.

Хоча Вейерштраcс не мав вищої освіти, але його дослідження, поширені головно його учнями, мали фундаментальне значення для багатьох розділів математики. Серед знаменитих учнів Вейерштраcса була й перша російська жінка-математик Софія Ковалевська.

Неконструктивність теореми Вейерштраcса була причиною непорозумінь. На початку 20-го століття відомий німецький математик Карл Рунге (Runge) опублікував приклад простої аналітичної функції 1/(1+x²), наближення якої степеневим інтерполюючим поліномом за рівномірно розташованими вузлами мало як завгодно велику похибку між вузлами зі збільшенням степеня полінома. Однак на той час знаменитий російський математик і механік Пафнутій Чебишев вже показав, як треба розміщувати вузли, щоб похибка була найменшою і суперечність з теоремою Вейерштрас­са не виникала (вузли поліномів Чебишева). На жаль, Чебишев не міг сам відповісти Рунге, бо вже помер. Це зробили його численні учні.

Можна інакше розв’язати проблему Рунге, якщо від інтерполяції перейти до апроксимації.

Інтерполяційний степеневий поліном будуємо за n вузлами, кількість яких на одиницю перевищує степінь полінома n-1. Тільки за цієї умови матриця Вандермонда буде квадратною. Апроксимаційний степеневий поліном збудуємо за m вузлами, кількість яких перевищує n. Система m рівнянь для визначення n коефіцієнтів апроксимаційного полінома має вигляд

. (3.4)

СЛАР (3.4) можна розв’язати за методом найменших квадратів (2.7), бо матриця СЛАР є прямокутною. Побудований апроксимаційний поліном не буде проходити точно через задані точки, бо розв’язок за методом найменших квадратів не задовольняє точно рівняння системи (3.4). Однак наближення функції Рунге апроксимаційним степеневим поліномом з рівномірним розташуванням вузлів має помітно меншу похибку між вузлами, ніж у разі інтерполяції за тими ж вузлами.

Значення функції у вузлах апроксимації часто задають з випадковими похибками. Апроксимаційний поліном має цінну здатність згладжувати випадкові відхилення. Ми переконаємось у цьому в наступному розділі.