Примеры применения фракталов

Мир фракталов огромен и разнообразен. Фракталы находят в механике и акустике, в химии и биологии. Для описания огромного числа объектов природы и общества, начиная от химических колебаний Белоусов и Жаботинского до развязывания локальных конфликтов, больше подходят приёмы дискретной матеатики. Специалисты в области синергетики убедились, что не дифференцируемые и не гладкие кривые и поверхности, которые изучатся в курсе классического математического анализа, не служат инструментом описания физических, биологических и социальных явлений, а ломаные, слоистые, дробленые, иначе говоря, фрактальные структуры. За последние два десятка лет произошла подлинная революция в компьютерных технологиях, делая нелинейную математику доступной для обработки на компьютерах в масштабе реального времени. Фракталы стали и новым направлением в изобразительном искусстве, демонстрируя собой картины необычной красоты и привлекательности.

а) в математике.

Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:

• множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины;

• треугольник Серпинского («скатерть») и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости;

• губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;

• примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции;

• кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;

• кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата;

• траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема.

б) в естественных науках.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

в) радиотехника

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск.

г) в информатике

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

д) Фракталы в комплексной динамике

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных динамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу 20 века и связаны с именами Фату и Жюлиа.

Пусть  — многочлен,  — комплексное число. Рассмотрим следующую последовательность: 

Эта последовательность может:

• стремиться к бесконечности,

• стремиться к конечному пределу,

• демонстрировать в пределе циклическое поведение, например: 

• вести себя хаотично, то есть не демонстрировать ни один из трёх упомянутых типов поведения.

Множества значений , для которых последовательность демонстрирует один конкретный тип поведения, а также множестваточек бифуркации между различными типами, часто обладают фрактальными свойствами.

Так, множество Жюлиа — множество точек бифуркации для многочлена  (или другой похожей функции), то есть тех значений , для которых поведение последовательности  может резко меняться при сколь угодно малых изменениях .

Другой вариант получения фрактальных множеств — введение параметра в многочлен  и рассмотрение множества тех значений параметра, при которых последовательность  демонстрирует определённое поведение при фиксированном . Так, множество Мандельброта — это множество всех , при которых  для  и  не стремится к бесконечности.

е) Стохастические фракталы

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы. Примеры стохастических фракталов:

• траектория броуновского движения на плоскости и в пространстве;

• граница траектории броуновского движения на плоскости. В 2001 году Лоулер, Шрамм и Вернер доказали предположение Мандельброта о том, что её размерность равна 4/3.

• эволюции Шрамма-Лёвнера — конформно-инвариантные фрактальные кривые, возникающие в критических двумерных моделях статистической механики, например, в модели Изинга и перколяции.

• различные виды рандомизированных фракталов, то есть фракталов, полученных с помощью рекурсивной процедуры, в которую на каждом шаге введён случайный параметр. Плазма — пример использования такого фрактала в компьютерной графике.