Методические указания по решению варианта 00
Вычислить неопределенные и определенные интегралы
а) ==
б) .
Интегирируется по частям: пусть ; тогда,. Следовательно, .
Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:
. Тогда
;
в)
.
г) ===
=+=0.
д)
2.Решите дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .
Разделяем переменные: .Интегрируем: .
Получаем: или .
3.Решите однородное дифференциальное уравнение первого порядка .
Делаем замену: .
Подставляем в исходное уравнение:
Разделяем переменные: .
Интегрируя: , получаем:
Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
4. Найти решение задачи Коши
Решим методом Бернулли.
Полагаем ,.
Тогда ,.
1) ,,,.
2) , т.е.,.
- общее решение.
Подставим начальные значения . Решаем уравнение и получаем что с=e,
Итак, .
5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Проверим выполнение теоремы: Þ левая часть дифференциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции . Найдем ее:
. Так как. C, получим .
6.Найти общее решение дифференциального уравнения .
Применяем подстановку: .
Получаем: .
Произведя обратную замену, получаем:
. Общее решение исходного дифференциального уравнения: .
7.Найти решение задачи Коши с начальными условиями
x0 = 0; y0 = 1;
Решаем с помощью понижения порядка:
Подставим начальные условия:
.
Получаем частное решение (решение задачи Коши):
8.Найти общее решение дифференциального уравнения
Замена переменной: .
Тогда .
1) .
Произведем замену переменной: . Отсюда, . Подставляем:
. С учетом того, что , получаем: .
Таким образом, общий интеграл имеет вид:
2) .
9.Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решим соответствующее однородное уравнение:
Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Правая часть уравнения - корень кратности 1 характеристического уравнения. Частное решение ищем в виде:
Имеем: .
Определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение:
Следовательно, частное решение:
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
10.Найти общее решение дифференциального уравнения
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sin(2x)).
Составим и решим характеристическое уравнение: .
Для функции f1(x)=ax+b число 0 не является корнем характеристического уравнения тогда, . Имеем:
. Получаем: .
Для функции f2(x), где. Число не является корнем характеристического уравнения, тогда
.
Подставляем:
Получаем . Следовательно, искомое частное решение имеет вид: . Общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
- Методические указания,
- Правила выполнения и оформления контрольных работ
- Контрольные задания
- Методические указания по решению варианта 00
- Вопросы к экзамену по теоретическому курсу
- Математика (II семестр)
- Неопределенный и определенный интегралы функции
- Одной переменной
- Дифференциальные уравнения
- Список литературы
- Свойства неопределенного интеграла
- Интегрирование правильных рациональных дробей
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование иррациональных функций
- Тригонометрические подстановки