§4. Алгебраїчний метод розв'язування геометричних задач на побудову
Цей метод є універсальним при розв'язуванні задач на побудову. У тих задачах, де задано відрізки, відношення відрізків і кути, кожен з останніх завжди можна замінити заданням трьох відрізків, що є сторонами певного трикутника з кутом, рівним даному. Відношення відрізків завжди можна подати двома відрізками. У такий спосіб усі дані умови геометричної задачі зводимо до певної множини відрізків . Шукані елементи задачі також виражаємо через відрізки . Потім, користуючись геометричними залежностями (теоремами, аксіомами), властивими шуканій фігурі, втановлюємо зв'язки між вказаними відрізками і записуємо їх за допомогою рівнянь.
Розв'язавши ці рівняння, знайдемо у вигляді алгебраїчних виразів, складених з величин , які потрібно побудувати за допомогою лінійки і циркуля чи інших вибраних інструментів.
Під і зручно розуміти також довжини відповідних відрізків при вибраній одиниці вимірювання.
Виконавши вказані побудови, можна побудувати шукану фігуру, тобто розв'язати задачу.
У цьому полягає суть алгебраїчного методу розв'язання задачі на. побудову, а найбільш чітким і послідовним його виразником є метод координат.
Серед позитивних рис методу є такі:
а) формули, що визначають шукані відрізки (через дані відрізки) дозволяють повніше дослідити отриману відповідь, зокрема визначити умови існування розв'язків задачі, їх кількість, деякі характерні особливості і навіть
узагальнити задачу
б) користуючись алгебраїчним, методом, можна зводити різні геометричні задані до розв'язування: і дослідження алгебраїчних рівнянь, а це, в свою чергу, дає змогу з'ясувати можливості креслярських інструментів і можливості виконання ними тих чи інших побудов;
в) знайдена після розв'язування рівняння формула часто вказує алгоритм побудови.
Алгебраїчний метод є найдійовішим при визначенні можливості виконати ту чи іншу побудову з допомогою циркуля і лінійки, і саме в цьому - його найважливіше теоретичне значення.
Розв'язування задачі на побудову алгебраїчним методом складається, в основному, з таких чотирьох етапів:
а) складання рівняння; .
б) розв'язування рівняння;
в) дослідження розв'язків за знайденими формулами;
г) побудова величин, виражених цими формулами і побудова шуканої фігури.