Графы
3.1 Определение
Граф G называется деревом, если он является связным и не имеет циклов. Граф G, все компоненты связности которого являются деревьями, называется лесом.
Дерево -- это связный ациклический граф (то есть граф, не содержащий циклов, между любой парой вершин которого существует ровно один путь).
Ориентированное (направленное) дерево -- ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.
У графа, который является деревом, число ребер на единицу меньше числа вершин. Дерево не содержит циклов, любые две его вершины можно соеденить единственной простой цепью.
Если у дерева G есть, по крайней мере, одно ребро, то у него обязательно найдется висячая вершина, т.к. в противном случае в графе будет цикл.
Для графов, которые сами по себе не являются деревьями, вводится понятие остовного дерева.
Остовным деревом связного графа G называется любой его подграф, содержащий все вершины графа G и являющийся деревом.
Пусть G - связный граф. Тогда остовное дерево графа G (если оно существует) должно содержать n(G)-1 ребер.
Таким образом, любое остовное дерево графа G есть результат удаления из графа G ровно m(G) - (n(G) - 1) = m(G) - n(G) + 1 ребер.
Число v(G) = m(G) - n(G) + 1 называется цикломатическим числом связного графа G.
Одной из самых распространенных задач является задача построения остовного дерева минимальной длины графа. Для решения этой задачи применяется следующий алгоритм.
1) Выберем в графе G ребро минимальной длины. Вместе с инциндентными ему вершинами оно образует подграф G2.
2) Строим граф G3, добавляя к графу G2 новое ребро минимальной длины, выбранное среди ребер графа G, каждое из которых инциндентно какой либо вершине графа G2, и одновременно инциндентно какой - либо вершине графа G, не содержащейся в графе G2.
3) Строим графы G4, G5, …, Gn, повторяя действия пункта 2 до тех пор, пока не переберем все вершины графа G.