Группы симметрий правильных многогранников
§1. Определение группы
Рассмотрим множество G всех n Ч n-матриц с вещественными коэффициентами и с отличным от нуля определителем. . Видно, что А, B далее, (АВ) C = А (ВC) и существует выделенная матрица Е такая, что АЕ = = ЕА = А для всех А . Кроме того, у каждой матрицы А имеется «антипод» -- обратная матрица , для которой А = А = Е.
Множество G рассматриваемое вместе с законом композиции (бинарной операцией) (А, В) и называемое полной линейной группой степени n над R, можно было бы коротко определить, как подмоноид всех обратимых элементов моноида .
Пусть Х - произвольное множество. Бинарной алгебраической операцией на Х называется произвольное (но фиксированное) отображение декартова квадрата Чаще всего бинарную операцию на Х обозначают каким-нибудь специальным символом:
Бинарная операция на множестве Х называется ассоциативной, если
Множество Х с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппу с единичным (нейтральным) элементом принято называть ещё моноидом.
Как и для всякого множества, мощность моноида М=(М, ) обозначается символом Card M или .
Подмножество полугруппы S с операцией называется подполугруппой, если хдля всех x, у. В этом случае говорят ещё, что подмножество S замкнуто относительно операции (М, ) - моноид, а подмножество не только замкнуто относительно операции , но и содержит единичный элемент, то
Определение. Моноид G, все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагаются выполненными следующие аксиомы:
(G0) на множестве G определена бинарная операция: (х,у) ху
(G1) операция ассоциативна: (ху)z = х(уz) для всех х, у, z G;
(G2) G обладает нейтральным (единичным) элементом е: хе = ех = х для всех x G
(G3) для каждого элемента x G существует обратный