Группы, кольца, поля
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В реферате рассмотрены: история возникновения, а также определения и свойства групп, колец и полей. Математические методы, используемые в криптографии, невозможно успешно освоить без знания этих алгебраических структур. Поэтому знания и умения работать с этими объектами применяются не только в дискретной математике, но и являются необходимым условием для подготовки специалистов в области защиты информации.
АННОТИРОВАННЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. Энциклопедия элементарной математики, Книга 1, Арифметика 1961. 448 с.
Книга первая. Арифметика. Происхождение систем счисления. Понятия множества, группы, кольца и поля; теоретические основы арифметики. Элементы теории чисел. Устный и письменный счёт; вспомогательные средства вычислений.
2. Аскольд Хованский. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. -- М.: Изд-во МЦНМО, 2008. - 296 с.
Книга посвящена вопросу о неразрешимости уравнений в явном виде. В ней дается полное изложение топологического варианта теории Галуа, полученного автором.
3. Атья М. Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. -М: Мир, 1972
Разобрав все доказательства и потренировавшись на многочисленных упражнениях, читатель овладеет основами коммутативной алгебры, равно необходимыми специалистам по топологии, теории чисел, функциональному анализу, алгебраической геометрии, теории функций комплексного переменного.
4. Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.(статья в научно-популярном журнале)
Ради изучения свойств операций сложения и умножения как таковых, в их внутренней связи между собой, безотносительно к природе элементов, над которыми они производятся, и было введено в алгебре понятие кольца.(аннотация к статье)
5. Беняш-Кривец В.В. Лекции по алгебре: группы, кольца, поля: учебное пособие для студентов математических специальностей / В.В. Беняш-Кривец,О.В. Мельников. Минск: БГУ, 2008. 116 с. В учебном пособии излагаются основы теории групп, колец и полей. Этот материал изучается в рамках курса "Алгебра и теория чисел на математических специальностях в вузах.
6. Васильев А.В., Мазуров В.Д. Высшая алгебра: В 2 ч.: Конспект лекций / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010, ч. 1. 143 c.
В курсе на основе понятия алгебраической системы определяются основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля, векторные пространства, алгебры. В дальнейшем рассматриваются примеры этих структур.
7. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство "Факториал Пресс", 2002
В книгу включены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры (В связи с аффинной алгебраической геометрией). Теории Галуа. Теории конечномерных ассоциативных алгебр и теории групп Ли.
8. Воскресенский. Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп.
МЦНМО. 2009. 408 с.
В книге рассмотрены такие вопросы, как формы и когомологии Галуа, группы Пикара и Брауэра многообразий, бирациональные инварианты линейных алгебраических групп, числа Тамагавы, проективные торические многообразия, R-эквивалентность в линейных алгебраических группах, инварианты конечных групп преобразований.
9. Глухов М.М. Елизаров В.П. Нечаев А.А. Алгебра.Том 2. 2003.-405 с.
Данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических объектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.
10. Земляков А. Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные. алгебраические задачи. Элективный курс : учебное пособие. БИНОМ. Лаборатория знаний. 320 с.
В пособии, построенном как самоучитель, рассмотрены все типы задач по элементарной алгебре, входящие в школьную программу и программу вступительных экзаменов в вузы. Излагаются не рецепты, а методы решения алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, задач с параметрами и с логическими условиями.
11. Золотых.Н.Ю. Сидоров.С.В ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. Электронное учебно-методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. 52с.
В сборнике содержится 316 задач по теории групп, колец и полей. Задачи снабжены ответами, задачи повышенной трудности - указаниями, а в некоторых случаях решениями.
12. Н.В. Максимов, Т.Л. Партыка, И.И. Попов. Современные информационные технологии: Учебное пособие - М.: Форум, 2008. - 512 с.: ил.; 60x90 1/16. (переплет) 3000 экз.
Рассматриваются классификация и структура автоматизированных информационных технологий (АИТ), связанные с ними понятия и определения, роль предметной области.
13. Некипелов, А. Д. Новая Российская энциклопедия [Электронный ресурс] : В 12 т.: Т. 6(2): Зелёна-Гура - Интоксикация / Редкол.: А. Д. Некипелов, В. И. Данилов-Данильян и др. - М. : Энциклопедия, ИД ИНФРА.
Новая Российская энциклопедия ( НРЭ) - фундаментальное универсальное справочно-информационное издание, представляющее читателям картину мира, отражающую современное состояние научного знания. Современное состояние научного знания.
14. Новиков С. П., Тайманов И. А. Современные геометрические структуры и поля. МЦНМО. 2005. 584 с. 2000 экз.
Излагаются основные сведения о геометрии евклидова пространства и пространства Минковского, включая их преобразования, теорию кривых и поверхностей, основы тензорного анализа и римановой геометрии, сведения из вариационного исчисления, пограничные с геометрией, элементы наглядной топологии многообразий.
15. Кнауб, Л. В. Теоретико-численные методы в криптографии [Электронный ресурс] : Учеб. пособие / Л. В. Кнауб, Е. А. Новиков, Ю. А. Шитов. - Красноярск : Сибирский федеральный университет, 2011. - 160 с.
Излагаются некоторые элементы теории чисел, отношения сравнимости, модулярная арифметика, степенные вычеты, первообразные корни, индексы, алгоритмы дискретного логарифмирования, китайская теорема об остатках, простые числа и проверка на простоту, разложение чисел на множители и арифметические операции над большими числами.
16. Коробейников А. Г. Математические Основы криптографии. Учебное пособие.
СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2002. 41 с.
В Учебном пособии представлен материал, необходимый для начального введения в теорию криптографических алгоритмов. Это в первую очередь теория групп, Теория колец, Теория полей и прикладная теория чисел.
17. Плоткин Б.И. Универсальная алгебра, алгебраическая логика и базы данных. Наука 1991. 449 с.
Излагается одна из возможных точно математически обоснованных математических моделей "баз данных"-- важнейшего понятия программирования. Развиваются алгебраические, в частности, категорные основы теории, различные подходы, направленные на алгебраизацию узкого исчисления предикатов, алгебраические модели базы данных.
18. Сачков, В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики (2-е издание, исправленное и дополненное) / Сачков В. Н. - Москва : МЦНМО, 2004.
Книга содержит изложение ряда основных комбинаторных методов современной дискретной математики в систематизированном виде. Предпочтение отдается тем методам, которые носят перечислительный характер, наиболее отработаны теоретически и имеют наибольшее число приложений.
19. Смирнов, В. И. Курс высшей математики. Том II / В.И. Смирнов ; Пред. Л. Д. Фаддеева, пред. и прим. Е. А. Грининой. - 24-е изд. -- СПб.: БХВ-Петербург, 2008. -- 848 с.: ил. -- (Учебная литература для вузов).
Во 2 томе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения и дополнительные све- дения по теории дифференциальных уравнений; кратные и криволинейные интегралы, несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра; векторный анализ и теория поля; основы дифференциальной геометрии; ря- ды Фурье; уравнения с частными производными математической физики.
20. Смолин Ю.Н. Числовые системы: Учебное пособие .. - М.: Флинта: Наука, 2009. - 112 с.: 60x88 1/16. (обложка) 1000 экз.
Изложены основные вопросы аксиоматического построения систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.
21. Туганбаев А.А. Алгебры кватернионов и моноидные кольца: монография. ФЛИНТА, 2012 г. 111 с.
В монографии рассмотрены кольцевые свойства алгебр кватернионов над произвольными коммутативными кольцами, исследованы моноидные кольца с дистрибутивной решёткой правых идеалов. Описаны свойства дистрибутивных модулей и колец, регулярных и дистрибутивных групповых колец, дистрибутивных моноидных колец.
22. В.Я. Турецкий. Математика и информатика: Учебник ; Уральский государственный университет. - 3-e изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 560 с.: 60x90 1/16. - (Высшее образование). (переплет) 3000 экз.
Содержит базовые разделы математики и основы информатики. Материал изложен с учетом требований, предъявляемых к студентам гуманитарных направлений и специальностей.
23. Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. Т. 1-2 -- М.: Мир, 1977, 1979--688 с. + 464 с.
Автор широко использует аппарат теории модулей, категорий и гомологии. Наряду с классическими изложены результаты, полученные в недавнее время.
24. Хамфри Дж. Арифметические группы. М.: Мир, 1983. -208 с
Введение в теорию арифметических групп, играющих важную роль в современной математике - алгебраической теории чисел, топологии, алгебраической геометрии, теории автоморфных функций.
25. Г.С. Шевцов. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие. - 3-e изд., испр. и доп. - М.: Магистр: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 544 с.: 60x90 1/16. (переплет) 500 экз.
Пособие охватывает весь обязательный теоретический и практический программный материал по курсу линейной алгебры для бакалавриата и магистратуры.
26. http://mathhelpplanet.com/static.php?p=gruppy-koltsa-polya-v-matematike. Математический форум Math Help Planet
Группа: определение и примеры групп. Кольцо. Поле: определение и примеры полей
27. http://alexei.stepanov.spb.ru/students/algebra3/fields.pdf. И.Г. Зельвенский. Методические указания по дисциплине: "Геометрия и алгебра". СПБГЭТУ
Прямое произведение множеств. Отношения эквивалентности. Фактормножества. Бинарные операции. Группы. Подгруппы. Гомоморфизмы групп.
28. http://www.pm298.ru/mgroup.php. Прикладная математика
Группа . Кольцо . Поле. Аксиоматическое построение математики. Изоморфизм. Расположенные кольца и поля
29. http://sernam.ru/book_tec.php?id=77. Научная библиотека избранных естественно-научных изданий научная-библиотека.рф.
Определение кольца. Определение поля. Кольцо полиномов. Свойства делимости полиномов в кольце. Кольцо вычетов по модулю.
30. http://baryshnikovphotography.com/bertewor/кольцо_(алгебра). Научно-познавательный блог
Определения. Связанные определения. Простейшие свойства . Примеры. Приложения