Глава 3. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением трёх ненулевых векторов , и называется ; если хотя бы один из векторов , или равен нулю, то .

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа часто встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е.

вектор скаляр произведение тождество

, , .

Вычислим .

Обозначим , .

Очевидно, что нас интересует вектор . Известно, что вектор выражается через координаты векторов и так:

,

, , .

В свою очередь, аналогично

.

Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для , и и, кроме того, выполним искусственное преобразование, добавив и отняв к правой части выражения , , . Получим:

Итак, получили: .

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям и ; они являются коэффициентами линейной комбинации векторов и , через которые выражается двойное векторное произведение . Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектора и , т.е. векторы , и компланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения , которое, вообще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторами и . Очевидно также, что .

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Доказать тождество Лагранжа

.

Решение

;

;

3. Доказать формулу

Решение

Следовательно:

.

Что и требовалось доказать.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

,

,

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Показать, что точки А (1,2,1), В (3,3,3), С (4,1,2) и D (5,4,5) лежат в одной плоскости.

Решение. Найдем координаты векторов , и .

(2,1,2), (3,-1,1), (4,2,4).

Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Действительно,

(, ,) = = 0,

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 2. Доказать, что векторы , и линейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

(,,)==0,

следовательно, векторы , и компланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы , и такие, что ++=0, т.е. (+ +)+(3+ 4 +) + (+2-3)=, откуда следует: (+ 3 + )+ (+ 4 + 2) + (2+ -3)=, т.к. , , - базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения , и :

Здесь выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим , в указанную выше линейную комбинацию: . Сократим на . Получим искомую линейную зависимость .

Заключение

Двойное векторное произведение играют существенную роль и в других науках, таких, как физика, электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений.

Список использованной литературы

1. Александров П.С., Лекции по аналитической геометрии.- М.: Наука, 1968-912 с.

2. Беклемишев Д.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1971 - 328 с.

3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричникова Е.А. Справочник по высшей математике. - М.: ТетраСистемс, 1999- 640 с.

4. Мусхелишвили Н.И., Курс аналитической геометрии. - М.: Высшая школа, 1967- 655 с.