1.7 Приложения двойных интегралов

1. Площадь плоской области равна двойному интегралу от дифференциала площади , распространенному на область .

(5)

В прямоугольных декартовых координатах элемент площади выражается формулой , поэтому

(6)

Поскольку в криволинейных координатах элемент площади

,

где - Якобиан преобразования , переводящий область в область , то площадь

(7)

В частности в полярных координатах

(8)

2. Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - плоскостью и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из плоскости область , вычисляется по формуле

.(9)

3. Площадь гладкой поверхности выражается формулой

,(10)

где - проекция данной поверхности на плоскость .

Площадь поверхности, заданной уравнением , выражается интегралом

,(11)

где - проекция данной поверхности на плоскость .

4. Если - область плоскости , по которой распределена масса с поверхностной плотностью , то масса этой области (пластинки) определяется формулой

,(12)

а статические моменты и относительно и - формулами

.(13)

5. Если - центр тяжести пластинки, то

,(14)

где - масса пластинки; , - статические моменты относительно осей координат.

Если пластинка однородна, т. е. , то формулы (14) принимают вид:

,(15)

6. Моменты инерции пластинки относительно осей и соответственно выражаются формулами:

,(16)

а ее момент инерции относительно начала координат - формулой

, (17)